Zeige mit den Differentialquotienten, dass ihre Ableitung an x=0 nicht existiert

Question

Aufgabe:

Zeige mit den Differentialquotienten, dass ihre Ableitung an x=0 nicht existiert

a) f(x) = - |x|

b) f(x) = -x|x|

Problem/Ansatz:

Wie genau soll ich das lösen? Soll ich hier limes gegen 0 gehen lassen und dann rausbekommen x=0 ?

Comments

Die Ableitung an der Stelle x₀ = 0 der Funktion f(x) = -x|x| existiert und ist gleich 0.

Answer 1

Aloha :)

Du musst prüfen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert.

zu a) $f(x)=-|x|$ ist bei $x=0$ nicht differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{-|h|-0}{h}=-\lim\limits_{h\to0}\frac{|h|}{h}$$Wir führen eine Fallunterscheidung für $h>0$ und $h<0$ durch:$$\lim\limits_{h\searrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-\lim\limits_{h\searrow0}\frac{|h|}{h}\stackrel{(h>0)}{=}-\lim\limits_{h\searrow0}\frac{h}{h}=-\lim\limits_{h\searrow0}1=-1$$$$\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=-\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{|h|}{h}\stackrel{(h<0)}{=}-\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{-h}{h}=\lim\limits_{h\nearrow0}1=1$$Wir können also für $x=0$ keinen eindeutigen Grenzwert des Differenzenquotienten angeben.

Die Funktion $f$ ist daher bei $x=0$ nicht differenzierbar.

zu b) $f(x)=-x|x|$ ist bei $x=0$ differenzierbar.$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\lim\limits_{h\to0}=\frac{-h|h|-0}{h}=-\lim\limits_{h\to0}|h|=0$$Da der Grenzwert exisitert, ist $f$ bei $x=0$ differenzierbar und es gilt $f'(0)=0$.

Answer 2

zu a) Der Grenzwert des Differenzenquotienten bei Annäherung an 0 von links ist 1.

     Der Grenzwert des Differenzenquotienten bei Annäherung an 0 von rechts ist -1.

Comments

Und wie weiß man dann, dass keine Ableitung existiert?

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Dazu müssten vermutlich beide Grenzwerte gleich sein.