ℚ(i) := {a + bi | a, b ∈ ℚ} ist ein Teilkörper von ℂ

Question

ℚ(i) := {a + bi | a, b ∈ ℚ} ist eine Teilmenge von ℂ und kleinstmöglich im folgenden Sinn: Ist K ein weiterer Teilkörper von ℂ, welcher die komplexe Zahl i enthält, so gilt ℚ(i) ⊆ K.

Könnte mir jemand eventuell einen Ansatz für diese Aufgabe nennen? danke^^

Answer 1

Jeder Teilkörper von C enthält ja jedenfalls die 1.

Damit auch 1+1=2 und 2+1=3 etc, also alle natürlichen Zahlen

und außerdem die 0. Mit den additiven Inversen der

natürlichen Zahlen also auch alle ganzen Zahlen.

Deren (außer der 0) multiplikativen Inversen führen dazu,

dass alle Stammbrüche enthalten sind und damit auch die

Produkte dieser Stammbrüche mit allen ganzen Zahlen,

also jedenfalls Q.

Da i enthalten ist , also auch alle q*i mit q∈ℚ

und deren Summen mit den Elementen von Q, also Q(i).

Answer 2

Aus \(0\), \(1\) und \(\mathrm{i}\) lassen sich mittels Addition, Multiplikation und Bilden von additiven und multiplikativen Inversen alle Elemente von \(\mathbb{Q}(i)\) bilden.