Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in seinen Schnittpunkten mit der x-Achse.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= (x^2+2x)e^x.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Grafen von f in den Schnittpunkten des Grafen mit der X Achse.

b) berechnen Sie den Flächen Inhalt der vom Grafen von F unterhalb der X-Achse der X Achse eingeschlossen wird?

Problem/Ansatz: wie berechne ich diese Aufgaben?

Answer 1

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= (x^2+2x) * e^x.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Grafen von f in den Schnittpunkten des Grafen mit der X Achse.

Ableitung
u = x^2 + 2x
u ´ = 2x + 2
v = e^x
v ´= e^x

u´ * v + u * v´
( 2x + 2 ) * e^x + ( x^2 + 2x ) * e^x
e^x * ( 2x + 2 + x^2 + 2x )
f´( x ) = e^x * ( x^2 + 4x + 2 )

Schnittpunkt
f(x)= (x^2+2x) * e^x = 0
Satz vom Nullprodukt
x^2 + 2x = 0
x * ( x + 2 )
x = 0
und
x+ 2 = 0
x = -2
( 0 | 0 )
( -2 | 0 )

Tangenten
y = m * x + b
f ´( 0 ) = m = e^0 * (0^2 + 4*0 + 2 ) = 2
y = m * x + b
0 = 2 * 0 + b
b = 0
y ( x ) = 2 * x

( -2 | 0 )
f ´( -2 ) = m = e^(-2) * ((-2)^2 + 4*(-2) + 2 ) = -0.27
y = m * x + b
0 = -2 * -0.27 + b
b = -0.54
y ( x ) = -0.27 * x  - 0.54

Stimmt. Wurde grafisch überprüft.

Comments

Die Fläche unterhalb der Funktion geht
von x = -2 bis x = 0

Stammfunktion
s = x^2 * e^x
( unglüklichsterweise weiß ich nicht
wie man auf die Stammfunktion kommt )
Nun
[ s ] zwischen -2 und 0 berechnen
(-2) ^2 * e^(-2) - (0) ^2 * e^(0)
F = 4 / e^2