Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen von f unterhalb der x-Achse und der x-Achse eingeschlossen wird

Question

Taschenrechnerfreie Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt, der vom Graphen von f unterhalb der x-Achse und der x-Achse eingeschlossen wird. (Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x² + 2x) • e^x).

Problem/Ansatz:

Beim durchlesen der Frage wird mir nicht genau klar, was genau für eine Fläche ich berechnen soll und wie genau ich dies tun soll, also wie ich vorgehen soll. Könnte mir dabei jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Überlege dir zunächst, für welche \(x\)-Werte die Funktion$$f(x)=(x^2+2x)\cdot e^x$$negativ ist, also unterhalb der x-Achse verläuft. Da die Exponentialfunktion \(e^x\) stets positiv ist, verläuft der Graph unterhalb der x-Achse, wenn \((x^2+2x)\) negativ ist:$$x^2+2x\le0\Longleftrightarrow x\cdot(x+2)\le0$$

$$\red{\text{1. Fall:}\quad x<-2\implies x<0\;\land\;x+2<0\implies x\cdot(x+2)>0}$$$$\red{\text{2. Fall:}\quad x>0\implies x>0\;\land\;x+2>0\implies x\cdot(x+2)>0}$$$$\green{\text{3. Fall:}\quad -2\le x\le 0\implies x\le0\;\land\;x+2\le0\implies x\cdot(x+2)\le0}$$

Der Graph verläuft also für \(x\in[-2;0]\) unterhalb bzw. auf der x-Achse.

~plot~ (x^2+2x)*e^x ; [[-3|1|-0,5|1]] ~plot~

Die gesuchte Fläche kannst du daher mit folgendem Integral formulieren:$$F=-\int\limits_{-2}^0(x^2+2x)\cdot e^x\,dx$$Das Minuszeichen vorne kommt daher, weil das Integral negativ ist, wenn die Kurve unterhalb der x-Achse verläuft. Es sorgt daher dafür, dass wir einen positiven Wert für die Fläche erhalten.

Das Integral selbst kannst bestimmen, indem du die Produktregel der Differentiation rückwärts verwendest:$$F=-\int\limits_{-2}^0(\underbrace{2x}_{=u'}\cdot \underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'})\,dx=-\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\right]_{-2}^0=\frac{4}{e^2}$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

      In meinem Mathe Unterricht haben wir bisher noch nicht den Umgang mit Fällen gehabt und kann daher bei deiner Rechnung nicht nachvollziehen, was genau du bei den Fällen gemacht hast.
      Außerdem wie genau hast du gerechnet, um auf deine F(x) Funktion zu kommen, weil ich verwundert bin, wie du auf das negative Integral gekommen bist.

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Alles gut, hab mir gerade deinen Text nochmal durchgelesen und habe jetzt gelesen, dass du das mit dem Minus bereits erklärt hast XD

Answer 2

Der Graph von f ist unterhalb der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen von f.

Es geht um die grüne Fläche.

Einer der beiden Faktoren des Funktionsterms kann nicht null werden. Und für den anderen braucht man keinen Taschenrechner, deshalb steht "taschenrechnerfrei" in der Aufgabe.

Answer 3

Kleiner Tipp: Wenn man einen Funktionsterm gegeben hat kann man sich den zunächst zeichnen lassen. Z.B. mit Geogebra.

Dann muss es eine Fläche geben, der vom Graphen von f unterhalb der x-Achse und der x-Achse eingeschlossen wird. Die Fläche suchst du in dem Graphen und versuchst den Inhalt zu bestimmen.

Eine Kontrolllösung kannst du dir auch direkt von Geogebra angeben lassen.

Zu Berechnung der Fläche braucht man mit Sicherheit eine Stammfunktion. Die kann man über Koeffizientenvergleich ermitteln,

F(x) = e^x·(a·x^2 + b·x + c)

F'(x) = e^x·(a·x^2 + b·x + c) + e^x·(2·a·x + b) = e^x·(a·x^2 + (2·a + b)·x + (b + c))

a = 1
2·a + b = 2
b + c = 0 → a = 1 ; b = c = 0

F(x) = e^x·(x^2)

Damit jetzt den gerichteten Flächeninhalt bestimmen.

A = F(0) - F(-2) = (e^0·(0^2)) - (e^{-2}·((-2)^2)) = -4/e^2

Die Fläche beträgt also 4/e^2. Das entspricht dann auch genähert dem Wert den Geogebra uns als Kontroll-Lösung genannt hat.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

So etwas wie den Koeffizientvergleich habe ich bisher noch nicht in meinem Mathe Unterricht gehabt. Gäbe es möglicherweise eine andere Methode, dies zu berechnen und auf das gleiche Ergebnis zu kommen?

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Es gibt mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit hat dir in der anderen Antwort Tschakabumba genannt. Noch eine Möglichkeit wäre die Partielle Integration. Davon würde ich aber eher abraten. Bevor man hier 2 mal partiell Integriert ist der Koeffizientenvergleich das schönere Mittel, das man anwenden kann.

Der Trick dahinter ist, wenn du weißt das die Stammfunktion wieder ein e-Term mit einer quadratischen Funktion ist, dann kannst du das als Ausgang nehmen und einmal ableiten und dann die Koeffizienten vergleichen.

Das hat man auch schon bei der Umkehrung der Potenzregel so gemacht.