Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Question

Aufgabe:

Die beiden Kurven p : y = ax^2 und q : y = 1/4 x^2 + b schneiden einander im Punkt S(4|6).
Die beiden Kurven begrenzen ein endliches Flächenstück. Dieses Flächenstück rotiert um
die y−Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers! (Skizze!)

Problem/Ansatz:

… wie brechnet man den Volumen ?

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Die Rede ist von dem:

Answer 1

y = 6/16 * x^2
y = 1/4 * x^2 + 2

Rotieren um die y-Achse kann ich nicht.

Ich berechne die Umkehrfunktion und laß dann
um die x-Achse rotieren.

x = 6/16 * y^2
y^2 = 16/6 * x
p = √ ( 16/6 * x )

x = 1/4 * y^2 + 2
1/4 * y^2 = x - 2
y^2 = 4x - 8
q = √ ( 4x - 8 )

Probe mit dem Schnittpunkt.
Berechnet ( 6 | 4 ) stimmt

p geht von x= 0 bis 6
q geht von x = 2 bis 6

Jetzt muß man jede Funktion für sich rotieren
lassen um das Volumen zu berechnen.
Die Differenzfunktion zu bilden und diese dann
rotieren zu lassen ist falsch.

für p
p = √ ( 16/6 * x )
Rotieren als Kreisfläche
A = Kreis = p^2 * PI
A = 8 * PI * x / 3
Stammfunktion
S = 8 * PI * x^2 / ( 3 * 2 )
S = 4 * PI * x^2 / ( 3 )

V = Volumen
[ S ] zwischen 0 und 6
4 * PI * 6^2 / ( 3 ) minus 4 * PI * 0^2 / ( 3 )
V = 150.8

Dasselbe für q durchführen.
Dann q von p abziehen.

Bei Fragen wieder melden.

Gute Nacht.

Comments

Hier noch der Graph der Umkehrfunktionen

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Rotieren um die y-Achse kann ich nicht.

Ich hatte dir schon häufiger empfohlen, dir das anzueignen, denn es ist oft viel einfacher, z.B. hier :

π·₀∫⁶ x^2 dy = π·₀∫⁶ 8y/3 dy = π·[4y^2/3]₀⁶ = π·4·36/3 = 48π .

Answer 2

\( S(4 \mid 6) \)
1.) \( y=\frac{3}{8} x^{2} \)
\( x^{2}=\frac{8}{3} y \)
\( x=\sqrt{\frac{8}{3} y} \rightarrow \text { Nur der positive Teil } \)
\( \begin{array}{l} g(y)=\sqrt{\frac{8}{3} y \rightarrow g^{2}(y)}=\frac{8}{3} y \\ V_{1}=\pi \cdot \int \limits_{0}^{6} \frac{8}{3} y \cdot d y=\left[\frac{4}{3} y^{2}\right]_{0}^{6}=\pi \cdot\left\{\left[\frac{4}{3} \cdot 6^{2}\right]-\left[\frac{4}{3} \cdot 0^{2}\right]\right\}=48 \pi \end{array} \)
2.) \( y=\frac{1}{4} x^{2}+2 \)
\( x^{2}=4 y-8 \)
\( x=\sqrt{4 y-8} \rightarrow \) Nur der positive Teil
\( g(y)=\sqrt{4 y-8} \rightarrow g^{2}(y)=4 y-8 \) \( V_{2}=\pi \cdot \int \limits_{2}^{6}(4 y-8) \cdot d y=\left[2 y^{2}-8 y\right]_{2}^{6}=\pi \cdot\left\{\left[2 \cdot 6^{2}-8 \cdot 6\right]-\left[2 \cdot 2^{2}-8 \cdot 2\right]\right\}=32 \pi \) \( V=V_{1}-V_{2}=16 \pi \)