Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Q-Vektoräume?

Question

Aufgabe: Welche der folgenden Mengen sind Untervektorraeume
der angegebenen Q-Vektoraeume?

W3 = {f ∈ Q^N | f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) fuer alle n ∈ N} ⊆ Q^N

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiß wie man die drei Bedingungen für einen Untervektorraum also 0∈W3 , f,g ∈ W3 => f+g ∈ W3 und λ*f ∈ W3 auf diesen Fall anwendet. Kann mir wer behilflich sein?

Mein Ansatz ist:

für (1) 0∈W3

Da f∈Q^N existiert ein n∈N : f(n+2) =0 => 0v∈W3

(2) Sein f,g ∈ W3 => f+g ∈ W3

zz. f(n+2) +g(n+2) = f(n+1) + f(n) + g(n+1) + g(n)

f(n+2) - f(n+1) - f(n) = 0 und g(n+2) - g(n+1) - g(n) = 0

=>wenn man die zz. Gleichung umstellt 0+0= 0 w.a.

Ich bin mir aber fast sicher dass das falsch ist von daher lass ich mal meine (3) weg. Falls wer einen guten Tipp hat mit dem ich die Aufgabe gelöst bekomme gerne her damit :D.

Danke schonmal.

Answer 1

Zu (1) musst du ja zeigen, dass die 0 von Q^N in W3 liegt.

Diese 0 ist die Nullabbildung (bzw. Folge von lauter 0en) also für die gilt

f(n)=0 für alle n∈N.  Und du musst prüfen, ob diese die

Bedingung   f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) erfüllt.

Dem ist ja so, denn   f(n + 2) = f(n + 1) + f(n)

                    <=>          0    =      0     +     0.

(2) ist schon ganz gut, vielleicht noch genauer so:

Seien f,g ∈ W3 .  ==>    f(n + 2) = f(n + 1) + f(n)   #

                      und    g(n + 2) = g(n + 1) + g(n)     ##

Zu zeigen ist f+g ∈ W3, also (f+g)(n+2)=(f+g)(n+1)+(f+g)(n)

Nach der Def. von + in Q^N gilt  (f+g)(x)=f(x)+g(x), also

(f+g)(n+2) =  f(n+2) +  g(n+2)  wegen # und ## 

            = f(n + 1) + f(n)  + g(n + 1) + g(n)

           =  f(n + 1)  + g(n + 1) + f(n)  + g(n) wieder Def. von +

             = (f+g)(n+1)   +   (f+g)(n)    q.e.d.

So ähnlich bekommst du auch (3) hin.