Welche der folgenden Mengen bilden Untervektorräume des ℝ^{2}?

Question

Hallo Leute,

Ich bräuchte eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Soweit ich das beurteilen kann, sind doch alle Mengen Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{2} \):

Welche der folgenden Mengen bilden Untervektorräume des \( \mathbb{R}^{2} ? \)

\( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \pi \cdot x=0\right\} \)
\( B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=y\right\} \)
\( C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \cdot y=0\right\} \)
\( D=\left\{0_{R^{2}}\right\} \)
\( E=\operatorname{Kern}(f) \), wobei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)eine lineare Abbildung ist.

Answer 1

Wenn du \(E\) zeigst, folgen \(A\) und \(B\) trivial. Das sind Kerne von den linearen Abbildungen \((x,y)\mapsto \pi x\) und \((x,y)\mapsto x-y\). Problematisch ist \(C\), hier sind z. B. \((1,0),(0,1)\in C\), nicht aber deren Summe. Bei \(D\) gibt's nicht viel zu tun, das ist ein UVR und damit du nachweisen kannst, dass der Kern ein UVR ist, musst du die Linearität und Homogenität von \(f\) ausnutzen.