kubische Funktion am Graphen ablesen

Question

Aufgabe: wie berechne ich einen Graphen mit einer Funktion 3. Grades?

Problem/Ansatz:

Comments

Setze die Informationen in Gleichungen um:

f(0) = 0

f '(0) = 0

f(2) = -1

f '(2) = 0

f(3) = 0

und die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die Koeffizienten a, b, c und d der kubischen Gleichung y = ax³ + bx² + cx + d

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Du hast allerdings 5 Funktionen aufgeschrieben ich brauche ja nur 4

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Es sind 5 Informationen gegeben worden. Mag sein, dass das System dadurch überbestimmt ist. Man wird es sehen, wenn man es löst.

Answer 1

Hallo,

du suchst eine Funktionsgleichung 3. Grades der Form

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b$

Du hast vier Unbekannte und brauchst daher entsprechend viele Informationen aus der Zeichnung.

Nullstelle bei x = 3

$f(3)=0\Rightarrow a\cdot 3^3+b\cdot3^2+c\cdot 3+d=0\\27a+9b+3c+d=0$

So "übersetzt" du auch die anderen Informationen.

Tiefpunkt bei (2|-1) - $f(2)=-1\quad \text{und}\quad f'(2)=0$

Hochpunkt bei (0|0) - $f(0)=0\quad \text{und} \quad f'(0)=0$

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Jetzt habe ich doch aber 5 Gleichungen statt 4

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Man kann nie genug davon haben ;-)

Ich würde die beiden Aussagen um den Hochpunkt an der Stelle x = 0 verwenden, daraus ergibt sich schon, dass c + d wegfallen.

Answer 2

Lösungsweg über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

doppelte Nullstelle bei P(0|0)  und einfache Nullstelle bei Q(3|0)

f(x)=a*x²*(x-3)

T(2|-1)

f(2)=a*2²*(2-3)=-4a

-4a=-1

a=$\frac{1}{4}$

f(x)=$\frac{1}{4}$*x^2*(x-3)

Answer 3

Hallo,

mit Linearfaktoren geht es auch.

f(x)=a*x²*(x-3)

f(2)=-1=a*4*(-1) → a=1/4=0,25

f(x)=0,25x²*(x-3)

f(x)=0,25x³-0,75x²

:-)