Wie kann man das beweisen ohne, dass man mehr Mals n über k berechnen muss und dann, mehr Mals addieren muss?
Text erkannt:
∑k=211(9k−2)=512 \sum \limits_{k=2}^{11}\left(\begin{array}{c}9 \\ k-2\end{array}\right)=512 k=2∑11(9k−2)=512
mit 29 = 512
Es ist
∑k=211(9k−2)=∑k=09(9k)\sum \limits_{k=2}^{11}{9\choose {k-2}}=\sum\limits_{k=0}^9{9 \choose k}k=2∑11(k−29)=k=0∑9(k9).
Dabei ist (9k){9 \choose k}(k9) die Anzahl der kkk-elementigen Teilmengen einer 999-elementigen Menge. Was ist dann ∑k=09(9k)\sum\limits_{k=0}^9{9 \choose k}k=0∑9(k9)?
Vielen Dank, und was ist wenn man so was hier hat?
∑k=042(−1)k(4242−k)=0 \sum \limits_{k=0}^{42}(-1)^{k}\left(\begin{array}{c}42 \\ 42-k\end{array}\right)=0 k=0∑42(−1)k(4242−k)=0
Es gilt (nk)=(nn−k){n\choose k} = {n\choose {n-k}}(kn)=(n−kn).
∑k=211(9k−2)\sum \limits_{k=2}^{11}\begin{pmatrix} 9\\k-2 \end{pmatrix}k=2∑11(9k−2)
Indexverschiebung gibt
∑k=09(9k)\sum \limits_{k=0}^{9}\begin{pmatrix} 9\\k \end{pmatrix}k=0∑9(9k)
und das ist nach der klassischen Summenformel 29=512
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