Der Betrag ||v|| ist interpretiert als die Länge des Vektors v. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist definiert als …

Question

Aufgabe:

Für einen Punkt \( v=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \) definieren wir den Betrag \( \|v\| \) als \( \|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}=\sqrt{\alpha_{1}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2}} \). Der Betrag \( \|v\| \) ist interpretiert als die Länge des Vektors \( v \).

Der Abstand zwischen zwei Punkten \( v \) und \( w \) ist definiert als \( d(v, w)= \) \( \|v-w\| \).

Zeigen Sie:

(i) \( \|v\|=0 \) genau dann, wenn \( v=0 \).

(ii) Für alle Skalare \( \alpha \in \mathbb{R} \) und alle \( v \in \mathbb{R}^{n} \) gilt \( \|\alpha \cdot v\|=|\alpha| \cdot\|v\| \).

(iii) Der Mittelpunkt der geraden Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten \( v \) und \( w \) in \( \mathbb{R}^{n} \) ist der Punkt \( \frac{1}{2}(v+w) \).

Answer 1

Nimm einfach die Definitionen:

(i)  ||v|| = √<v,v>

In Worten: Betrag von v ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt

von v mit sich selbst, bzw. die Wurzel aus der Summe der

Quadrate der Komponenten von v

Wenn also ||v|| = 0 gilt, und v=(a1,...an) ist, dann gilt

√ ( a1^2 + .... + an^2) = 0

==> a1^2 + .... + an^2 = 0

Und da die Summanden alle ≥0 sind ( Quadrate !)

folgt:  Alle Summanden sind gleich 0, also

a1 : ... : an = 0 , also v=0.

Umgekehrt: Wenn v=0 ist, dann sind alle a_i=0 also

auch ||v||=0.

Answer 2

Zum Beispiel sieht der Beweis von (ii) so aus:

sei \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} a_1\\:\\:\\a_n \end{pmatrix} \). Dann ist \( \vec{av} \)=\( \begin{pmatrix} a·a_1\\:\\:\\a·a_n \end{pmatrix} \) und ||a·\( \vec{v} \) || =\( \sqrt{(a·a_1)^2+...+(a·a_n)^2} \). Anwendung der Potenzgesetze auf jeden Summanden unter der Wurzel, Ausklammern von a² unter der Wurzel und teilweises Wurzelziehen führt zu ||\( \vec{av} \)||=a·\( \sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \)=a·||\( \vec{v} \)||.

Answer 3

Zu (iii):

Die Verbindungsstrecke zwischen \(u\) und \(v\) ist die Menge

\(S=\{u+\lambda(v-u):\; \lambda\in [0,1]\}\). Insbesondere für \(\lambda=1/2\)

bekommt man \(1/2(u+v)\in S\). Nun müssen wir zeigen, dass dieser Punkt

zu den Endpunkten \(u\) und \(v\) denselben Abstand hat:

\(\|1/2(u+v)-u\|=\|1/2(v-u)\|=1/2\|v-u\|\), ebenso

ergibt sich \(\|1/2(u+v)-v\|=1/2\|v-u\|\), q.e.d.