Funktionenfolgen auf Konvergenz untersuchen

Question

Hallo, in meiner ersten Aufgabe soll ich zwei Funktionenfolgen auf Konvergenz / gleichmäßige Konvergenz untersuchen. Dazu wollte ich nun zuerst überprüfen, ob die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Dazu wollte ich dann eine Grenzfunktion finden und wollte fragen, ob mein Ansatz stimmt, bevor ich wild drauf los schreibe und es falsch ist. Probleme bereitet mir etwas die Eingrenzung von x, ich würde z.B. sagen, dass der Grenzwert bei -n^3*x+2n^2 = 0 ist, das habe ich durch ausprobieren mit hohen n geschafft, aber muss ich das auch noch genauer zeigen?
Bei f_n(x)= ist ja die Grenzfunktion dementsprechend auch 0.

Die FUnktionenfolge ist doch nur dann konvergent wenn sie überall den Grenzwert 0 hätte, oder? Für ein paar Erläuterungen / Erklärungen wäre ich sehr dankbar.
Und meint die Zweite Notation, dass ich dann den Limes / die Grenzfunktion des Integrals der Funktionenfolge bestimmen muss?

Text erkannt:

Aufgabe 1 (6 Punkte). Untersuchen Sie für die nachstehenden Funktionenfolgen sowohl \( \left\{f_{n}\right\}_{n} \) als auch \( \left\{\int \limits_{I} f_{n}\right\}_{n} \) auf Konvergenz. Liegt bei einer der Funktionenfolgen gleichmäßige Konvergenz vor?
(a) \( f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}n^{3} x, & 0 \leq x<\frac{1}{n} \\ -n^{3} x+2 n^{2}, & \frac{1}{n} \leq x<\frac{2}{n}, x \in I=[0,1], \\ 0, & \frac{2}{n} \leq x \leq 1\end{array}\right. \)
(b) \( f_{n}(x)=\frac{1}{1+x^{2 n}}, x \in I=[a, b] \), für beliebige \( -1<a<b<+1 \).

Comments

Hey, danke für deine Antwort. Ich habe a jetzt mal komplett aufgeschrieben, stimmt das dann so?

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Das stimmt jetzt nicht ganz: Die Funktionenfolge konvergiert nicht punktweise, also insbesondere nicht gleichmässig, das kannst du dir also sparen. Für das Riemann Integral musst du nun zeigen, dass es für jedes beliebige epsilon > 0 ein N gibt, sodass es für alle n > N eine Partition des Intervals [0, 1] existiert, mit

$$P=\{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_m\}$$

sodass gilt

$$\left| \sum_{i=1}^{m} \sup_{x \in [x_{i-1}, x_{i}]} \{f _{n}(x)\} (x_{i}-x_{i-1}) \right | = \left| \sum_{i=1}^{m} \inf_{x \in [x_{i-1}, x_{i}]} \{f _{n}(x)\} (x_{i}-x_{i-1})  \right |<\epsilon.$$

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Hallo Liszt,

kannst du mir vielleicht erklären, was ich dann oben falsch gemacht habe ? Ich verstehe z.B. nicht was deine Antwort mit dem Lösen der Aufgabe zu tun hat..... Ich bin da gerade komplett auf dem Schlauch, weil ich dachte, dass meine Lösung und Argumentation richtig seien....

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Ich schaue mir deine Lösung später nochmal genauer an.

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Man kann Antworten leider nicht bearbeiten, aber ich habe mich leider bei der Funktion verlesen, siehe den Kommentar zu meiner Antwort.

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Hallo Liszt, nur zu meinem Verständnis nochmal:

Ich habe gedacht, dass es sich bei (a) um 3 Funktionenfolgen handelt, je nach x-Wert, dass war dann mein Denkfehler. Da ich gezeigt habe, dass n^3*x nicht punktweise konvergiert, kann ganz fn nicht konvergieren, richtig?

Jetzt will ich noch das Integral von fn betrachten. Da alle möglichen Formen von fn in den jewieligen Intervallen Riemann Integrierbar sind, kann ich Integration und Grenzwertbetrachtung vertauschen und wie du es getan hast, dass Integral in die 3 Integrale aufteilen.

Also kann ich anstelle des Integral vom Limes, den Liems des Integrals ausrechnen

Ich will ja den Limes des Integral von 0 bis 1 von fn ausrechnen, also rechne ich die 3 Integrale aus, addiere die Werte und habe dann den Limes des Gesamtintegrals?

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Kein Problem:) Ich bin gleich sowieso arbeiten, vielleicht hast du ja Morgen Zeit, sodass ich auf eine richtige Lösung für die Aufgabe komme. Danke Dir schonmal für deine bisherige Zeit:)

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Du hast doch meine korrigierte Antwort gelesen. Die Funktionenfolge konvergiert punktweise, deine Analyse ist an dieser Stelle falsch (da du die stückweise Funktion nicht als ein Ganzes betrachtest). Bevor du dich dem Integral widmest, solltest du dir das klar machen.

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Hey,

also war mein Fehler, dass x in meinem 1. Fall ja x≤0 sein kann und ich es nur nach oben abgeschätzt habe. Dann ist es ja wie du sagst, dass f(0) gleich 0 ist. Wie kommst du aber für meinen 1. Fall auf x> 2/N...... Die ganze Funktion ist doch punktweise konvergent, wenn alle Teuk Funktionen punktweise konvergent sind, oder verstehe ich das falsch?

"Fall" 2 und 3 sind bei mir ja punktweise konvergent nur Fall nicht...

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Ja, das ist genau der Denkfehler, den ich meinte. Du kannst nicht nur die Teilfunktionen einzeln betrachten, sondern musst die Funktion als Ganzes betrachten.

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Ok das ich die Funktion nicht als Ganzes betrachtet habe, verstehe ich jetzt, da hat es Klick gemacht. Wie argumentiere ich jetzt aber, dass die Funktion nicht gleichmäßig konvergent ist. Ist dies so, weil die mein großes N davon abhängt, wie x ist, weil sich ja dann die Vorschrift für die Funktionenfolge ändert und ich auch hier wieder x=0 und x>0 betrachten müsste?

bei B habe ich diese stückweise Funktionenfolge ja nicht, deswegen hoffe ich, dass diese Lösung besser ist.

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Mittlerweile habe ich alles gelöst, aber das nächste Matheblatt kommt ja:) Schönes Wochenende

Answer 1

Deine Analyse für a) stimmt. Den Grenzwert der Integralfolge, welchen du bestimmen sollst, ist einfach eine andere Schreibweise für
$$\lim_{n \to\infty} \int_{I}^{}  f _{n}(x) \mathrm{d}x $$
Wenn du weisst, dass deine Funktionenfolge gleichmässig konvergiert, so kannst du den Limes und das Integral vertauschen.

Comments

Deine Analyse stimmt doch nicht, ich habe die Funktion leider falsch gelesen. Die Funktion konvergiert in der Tat punktweise zur Nullfunktion.

$$\lim_{n \to\infty} f _{n}(0)= \lim_{n \to\infty} 0=0$$
Für x > 0 gilt:

$$ x>\frac{2}{N} \text{ für irgendein (grosses) } N \implies f _{n}(x)=0, \ \forall n\ge N $$

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Mittlerweile blicke ich nicht mehr ganz durch, durch die ganzen Kommentare.....

Wenn du Zeit hast, könntest du mir das vielleicht einmal ausführlich erklärend aufschreiben.... Und mir auch sagen, was ich falsch gemacht habe/ Ob meine Erläuterung mit den Integralen richtig ist

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Wir sehen, dass für \( x=0 \) gilt für alle \( n \in \mathbb{N} \) :

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(0)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n^{3} \cdot 0\right)=0 \)
Wenn nun \( x>0 \) ist, dann gibt es irgendein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( x \geq \frac{2}{N} \) gilt. Dann gilt widerum für alle \( n \geq N \)
\( f_{n}(x)=0 \quad(x \text { fällt in die letzte Katerogie von } f) \)
Das bedeutet, die Funktionenfolge konvergiert punktweise zu der Nullfunktion auf dem Interval \( [0,1] \). Nun wollen wir
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x \)
berechnen. Dafür teilen wir das Integral wie folgt auf:
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x &=\int \limits_{0}^{\frac{1}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x+\int \limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x+\int \limits_{\frac{2}{n}}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x \\ &=\int \limits_{0}^{\frac{1}{n}} n^{3} x \mathrm{~d} x+\int \limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}\left(-n^{3} x+2 n^{2}\right) \mathrm{d} x+\int \limits_{\frac{2}{n}}^{1} 0 \\ &=n^{3} \int \limits_{0}^{\frac{1}{n}} x \mathrm{~d} x-n^{3} \int \limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} x \mathrm{~d} x+2 n^{2} \int \limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \mathrm{~d} x \\ &=\frac{n}{2}-\frac{3 n}{2}+2 n=n \end{aligned} \)
Wir sehen also, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \)
nicht existiert (bzw. \( \infty \) ist wenn man die reellen Zahlen mit \( \infty \) und \( -\infty \) erweitert).

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Danke für die Erklärung, das habe ich hoffe ich soweit verstanden. Mir bleibt nur noch die Frage, warum f_n jetzt nicht gleichmäßig konvergent ist. Ich habe mich auch an b versucht. Es wäre klasse, wenn du da eventuell auch mal drüber schauen würdest . Da muss ich ja am Ende von a bis b integrieren. Setze ich dann auch a und b ein, oder setze ich da was anderes ein

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Hier das korrekte Argument für gleichmässige Konvergenz. Nun kannst du für die Integralfolge einfach Grenzwert und Limes vertauschen.

\( \sup \limits_{x \in[a,b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup \limits_{x \in[a, b]}\left|\frac{1}{x^{2 n}+1}-1\right| \leq\left|\frac{1}{b^{2 n}+1}-1\right|=\left|\frac{-b^{2 n}}{b^{2 n}+1}\right| \leq\left|-b^{2 n}\right|=b^{2 n} \)

was beliebig klein gemacht werden kann, da $$-1<b<1$$

Du musst ja schliesslich zeigen, dass der "Abstand" zwischen $$f_n(x)$$ und $$f(x)$$

unabhängig von $$x$$ beliebig klein gemacht werden kann.

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Danke Dir, das habe ich verstanden :) Ich werde das nachher, dann noch mit dem Integral machen. Danke für deine Mühe

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Damit habe ich die Aufgabe erledigt und nochmals Danke für die ausführliche Erklärung. Solltest du noch Zeit und Lust haben, habe ich auch noch 2 andere Fragen hochgeladen, die zumindest nach dem Dozenten um einiges einfacher sind, ich mir aber leider keinen Reim drauf machen kann.....

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Mache ich gerne wenn ich wieder Zeit habe. Gerne meiner Antwort einen Punkt geben wenn sie hilfreich war.