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Gegeben ist folgende Aufgabe:

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Text erkannt:

- Zeigen Sie: Ist \( P(x)=\sum \limits_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \) ein Polynom mit \( a_{j} \in \mathbb{Z} \) und ist \( x_{0} \in \mathbb{Z} \) eine Nullstelle von \( P \), dann ist \( x_{0} \) ein Teiler von \( a_{0} \).

Wie löse ich folgende Aufgabe? Mein Ansatz wäre die Summe anschließend als Linearfaktorzerlegung auszuschreiben, ich weiß aber nicht ob diese Idee überhaupt Sinn macht. Würde mich über Hilfe sehr freuen;)

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2 Antworten

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Hallo

ja, wenn x0 eine Nullstelle ist kann man immer (x-x0) ausklammern, und hat dann (x-x0)*q(x) mit q(x) vom Grade (n-1), beim ausmultiplizieren  dann benutzen, dass a0 ganz ist.  und nur das absolute Glied von q mal x0 =a0 von P ist

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Vielen Dank für deine Antwort, jedoch verstehe ich sie nicht komplett. Wie meinst du das mit dem Ausmultiplizieren und der Annahme, dass a0 gerade ist?

ao ist ganz nicht gerade! wo soll ich das gesagt haben?

Schreibe q(x) allgemein hin, multipliziere so aus dass man sieht was x0* dem absoluten Glied von q ist

lul

Tut mir leid ich hatte zu schnell gelesen gehabt vielen Dank für die Antwort

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\(P(x_0)=\sum_{j=0}^n a_jx_0^i=0\), also

\(a_0=-\sum_{j=1}^n a_jx_0^j=x_0\cdot(- \sum_{j=1}^na_jx_0^{j-1})\),

q.e.d.

Avatar von 29 k

Danke für die Antwort, leider ist für mich nicht ersichtlich, wo der Beweis des Teilens vorkommt

Da steht doch, dass \(a_0\) ein ganzzahliges Vielfaches von \(x_0\) ist.

"\(x_0\) ist ein Teiler von \(a_0\)" bedeutet definitionsgemäß,

dass es eine ganze Zahl \(z\) gibt mit \(a_0=x_0\cdot z\).

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