Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen für reelle Zahlen

Question

Aufgabe.

Seien a1,...,an ≥ 0. Dann gilt:

\( \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right) \geq 1+\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \)

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich sowas aus? Bzw. Wie beweise ich sowas?

Answer 1

Mit Induktion. Der I.A: ist klar.

Jetzt der Induktionsschöuss

$$ \prod_{i=1}^{n+1} (1+a_i) \ge \left( 1+ \sum_{i=1}^n a_i \right) (1  + a_{n+1} ) $$

Das ausmultiplizieren und benutzen von \( a_i \ge 0 \) gibt das Ergebnis.