Zeige: Abschluss von A oder B

Question

Aufgabe:

A und B sind Teilmengen eines metrischen Raumes (X,d). Zeige:

Abschluss von (A∪B)=(Abschluss von A)∪(Abschluss von B)

Problem/Ansatz:

Erbitte um einen Ansatz.

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Wie habt Ihr denn den Abschluss einer Menge definiert?

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Sei (X, d) ein metrischer Raum und T ⊆ X.
2)Abschluss T := ∩{A⊆X| A⊇ T ist abgeschlossen} heißt Abschluss von T.

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal $\bar{T}$ für den Abschluss.

Dann gilt für jede Menge $T \sube \bar{T}$, daher $A \sube \bar{A}$ und $B \sube \bar{B}$, also $A \cup B \sube \bar{A} \cup \bar{B}$. Jetzt ist die rechte Seite abgeschlossen (Info: Der Abschluss einer Menge ist abgeschlossen, Vereinigung von 2 abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen - bekannt?). Daher folgt $\overline{A \cup B} \sube \bar{A} \cup \bar{B}$.

Die Umkehrung geht ähnlich: Es gilt $A \sube A \cup B \sube \overline{A \cup B}$, daher auch $\bar{A} \sube \overline{A \cup B}$. Analog für B und damit auch $\bar{A}\cup \bar{B} \sube \overline{A \cup B}$.

Gruß Mathhilf

PS: Vielleicht habt Ihr aber auch den Abschluss mit Hilfe von Folgen charakterisiert und sollt das benutzen.

Comments

Vielen Dank!

Würden Sie mir bitte noch verraten wie sie den Strich über den Buchstaben hinbekommen haben, habe das hier nicht gefunden.

LG

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Für 1 Buchstaben: \bar{T}

Für mehr: \overline{xxxxx}