Integral von (exp(3x)+3)/(exp(x)+1) berechnen mit Substitution

Question

Ich soll das Integral (exp(3x)+3)/(exp(x)+1) berechnen und es ist angegeben dass man Substitution verwenden soll. Ich habe leider keine Ahnung wie!

Answer 1

Hi,

splitte erstmal, dann lässt sich das alles viel gemütlicher bearbeiten.

$$\int \frac{e^{3x}+3}{e^x+1} \; dx = \int\frac{e^{3x}}{e^x+1} \; dx+\int\frac{3}{e^x+1}\; dx $$

Der erste Summand sei A. Der zweite sei B

B: Substituiere \(e^x = u\) und damit \(e^x\; dx = du\)

$$B = 3\int\frac{1}{u(u+1)} \; du$$

Partialbruchzerlegung:

$$=3\int\frac1u\; du - 3\int\frac{1}{u+1}\; du$$

$$ = 3\ln(u)-3\ln(u+1) + c = 3\ln(e^x)-3\ln(e^x+1) + c $$

$$= 3x-3\ln(e^x+1)+c$$

A: Substituiere wieder \(e^x = s\) und \(e^x \; dx = ds\)

$$\int\frac{s^2}{s+1}\; ds$$

Polynomdivision (Achtung: Keine Partialbruchzerlegung, da Zählergrad>Nennergrad)

$$\int s-1+\frac{1}{s+1} \; ds$$

$$\frac{s^2}{2}-s+\ln(s+1) + d = \frac{e^{2x}}{2} - e^x + \ln(e^x+1) + d$$

Nun nur noch A+B

$$A+B = 3x-e^x+\frac{e^{2x}}{2}-2\ln(e^x+1)+f$$

Grüße

Comments

:)

Aber ist es richtig dass im ersten Schritt von A exp(3x)=s^2 statt s^3? hat das auf die weitere Rechnung auswirkungen?

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Ja, das ist richtig ;).


Beachte, dass Du durch die Substitution ja noch das dx durch du ersetzen musst. Aber nicht einfach dx durchstreichen und du hinsetzen, sondern e^x dx = du --> dx = du/e^x

Es kürzt sich also einmal e^{3x} mit e^x zu e^{2x}, was dann letztlich als s^2 geschrieben wird.

Einverstanden?

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Ja^^

Dann ein dickes Dankeschön :)

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  B lässt sich einfacher integrieren.

  Zu integrieren sei : 1 / ( e^x + 1) Der Zähler wird umgeformt zu

  ( e^x + 1 - e^x ) / ( e^x + 1)
  ( e^x + 1 ) / ( e^x + 1 )  - e^x / ( e^x + 1 )
  1 -  e^x / ( e^x + 1 )  l integrieren zu
  x - ln(e^x + 1)   l noch mal 3 wie in der Aufgabenstellung
  3 * x  - 3 *  ln(e^x + 1)

  mfg Georg