Aufgabe:
Invarianz der Schrittweitensteuerung.
Gegeben sei ein Anfangswertproblem eines Systems aus gew. Dgln. mit Anfangspunkt x0=0. Betrachtet wird eine Skalierung der unabhängigen Variablen, d.h. x=μt mit einer Konstanten μ>0. Es entstehen die beiden Probleme
y′(x)z′(t)=f(x,y(x)),y(0)=y0,x∈[0,xend ]=μf(μt,z(t)),z(0)=y0,t∈[0,μxend ]
a) Zeigen Sie, dass ein Runge-Kutta-Verfahren invariant bezüglich dieser Skalierung ist, d.h. die Näherungen y1≈y(h) und z1≈z(h~) mit h~=μh stimmen überein.
b) In der Schrittweitensteuerung ergibt sich die neue Schrittweite aus
hneu=δ⋅hused⋅p+1ERR1
mit der Fehlernorm ERR
ERR=n1i=1∑n( ATOL + RTOL ⋅∣yihused ∣y^ihused −yihused )2
und einem Sicherheitsfaktor δ∈(0,1). Es sei ein eingebettetes Runge-Kutta-Verfahren verwendet. Zeigen Sie, dass diese Schrittweitensteuerung invariant bezüglich der Skalierung ist, d.h. h~neu =μhneu falls h~used =μhused .
Hey, kann mir jemand dabei helfen?
Danke :))