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Aufgabe:


Invarianz der Schrittweitensteuerung.

Gegeben sei ein Anfangswertproblem eines Systems aus gew. Dgln. mit Anfangspunkt x0=0 x_{0}=0 . Betrachtet wird eine Skalierung der unabhängigen Variablen, d.h. x=μt x=\mu t mit einer Konstanten μ>0 \mu>0 . Es entstehen die beiden Probleme
y(x)=f(x,y(x)),y(0)=y0,x[0,xend ]z(t)=μf(μt,z(t)),z(0)=y0,t[0,xend μ] \begin{aligned} y^{\prime}(x) &=f(x, y(x)), \quad y(0)=y_{0}, \quad x \in\left[0, x_{\text {end }}\right] \\ z^{\prime}(t) &=\mu f(\mu t, z(t)), \quad z(0)=y_{0}, \quad t \in\left[0, \frac{x_{\text {end }}}{\mu}\right] \end{aligned}

a) Zeigen Sie, dass ein Runge-Kutta-Verfahren invariant bezüglich dieser Skalierung ist, d.h. die Näherungen y1y(h) y_{1} \approx y(h) und z1z(h~) z_{1} \approx z(\tilde{h}) mit h~=hμ \tilde{h}=\frac{h}{\mu} stimmen überein.

b) In der Schrittweitensteuerung ergibt sich die neue Schrittweite aus
hneu=δhused1ERRp+1 h_{\mathrm{neu}}=\delta \cdot h_{\mathrm{used}} \cdot \frac{1}{\sqrt[p+1]{\mathrm{ERR}}}
mit der Fehlernorm ERR

ERR=1ni=1n(y^ihused yihused  ATOL + RTOL yihused )2 \mathrm{ERR}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\hat{y}_{i}^{h_{\text {used }}}-y_{i}^{h_{\text {used }}}}{\text { ATOL }+\text { RTOL } \cdot \mid y_{i}^{h_{\text {used }} \mid}}\right)^{2}}

und einem Sicherheitsfaktor δ(0,1) \delta \in(0,1) . Es sei ein eingebettetes Runge-Kutta-Verfahren verwendet. Zeigen Sie, dass diese Schrittweitensteuerung invariant bezüglich der Skalierung ist, d.h. h~neu =hneu μ \tilde{h}_{\text {neu }}=\frac{h_{\text {neu }}}{\mu} falls h~used =hused μ \tilde{h}_{\text {used }}=\frac{h_{\text {used }}}{\mu} .




Hey, kann mir jemand dabei helfen?

Danke :))

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