Zeigen Sie, dass f: (a x+b)/(c x+d) injektiv ist.

Question

Aufgabe:

Seien $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ mit $a d-b c \neq 0$ und $c \neq 0$.
(a) Zeigen Sie, dass $f: \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{a x+b}{c x+d}$ injektiv ist.

Problem/Ansatz:

x1,x2€R       $\frac{ax1+b}{cx1+d}$ =  $\frac{ax2+b}{cx2+d}$

Und dann schauen ob x1=x2  raus kommt?

Ich habe etwas komisches raus

?

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge $\mathbb R$ höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, es gebe zwei Elemente $x$ und $y$ aus der Definitionsmenge $\mathbb R\setminus\{-\frac dc\}$, die dasselbe Ziel treffen, und zeigen, dass diese zwei Elemente gleich sein müssen. Beachte noch, dass $c\ne0$ und $(ad-bc)\ne0$ gilt.

$$\left.f(x)=f(y)\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{ay+b}{cy+d}\quad\right|\text{auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\frac{(ax+b)(cy+d)}{(cx+d)(cy+d)}=\frac{(ay+b)(cx+d)}{(cx+d)(cy+d)}\quad\right|\text{mit Hauptnenner multiplizieren}$$$$\left.(ax+b)(cy+d)=(ay+b)(cx+d)\quad\right|\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.acxy+bcy+adx+bd=acxy+bcx+ady+bd\quad\right|-acxy-bd$$$$\left.bcy+adx=bcx+ady\quad\right|-bcx-bcy$$$$\left.adx-bcx=ady-bcy\quad\right|\text{ausklammern}$$$$\left.(ad-bc)x=(ad-bc)y\quad\right|\colon(ad-bc)\quad\text{(nach Aufgabenstellung \(\ne0\))}$$$$x=y$$Die Funktion ist also tatsächlich injektiv.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

Ich habe es etwas umständlicher gemacht, indem ich den Term rübergezogen habe.

Ist das so auch richtig?

  $\frac{ax+b}{cx+d}$ =  $\frac{axy+b}{cxy+d}$ / - $\frac{axy+b}{cxy+d}$

$\frac{ax+b*(cy+d)}{cx+d*(cy+d)}$ - $\frac{ay+b*(cx+d)}{cy+d*(cx+d)}$ =0 / auf selbe Nenner bringen

\( \frac{axy+cyb+adx+db-acxy-ayd-cbx-bd}{c²xy+cxd+cyd+d²} \) =0

=  $\frac{cyb-cxb+dax-day}{c2xy+cxd+cyd+d2}$=0 / ausklammern

= $\frac{(y-x)cb+(x-y)ad}{c2xy+cxd+cyd+d2}$=0

--> (y-x)cb+(x-y)ad=0  /-(x-y)ad

--> (y-x)bc=(y-x)ad / Minusklammer

Nullsetzen:

cb=0 → c≠0

--> b=0

--> ad-cb=0   ad=cb  --> ad=0

Verboten

Einzige Möglichkeit

y-x=0 setzten

--> y=x    somit injektiv

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Ich sehe nichts Verbotenes in deiner Rechnung, kann man so machen... \o/