Rechnung mit Summenzeichen: Summe v=1 bis 11 von (2v-1)2 - Summe v=2 bis 12 von (2v-3)2

Question

Ich verzweifele momentan an einer Aufgabe...

Summe v=1 bis 11 von (2v-1)²  -  Summe v=2 bis 12 von (2v-3)²

Hab versucht es auf x Arten umzuformen um es dann mit einer Formel lösen zu können aber irgedwie bin ich auf dem Holzweg.

Über Lösungsansätze würde ich mich freuen. Das Ergebnis soll sein 23²

Korrektur: Antwort darauf vgl. JotEs:

Summe von v=0 bis 11 für (2v+1)²  -  Summe von v=2 bis 12 für (2v-3)²

Comments

Danke schon mal, aber ich muss mich schämen hab mich 2 x verschrieben bei der Aufgabe -.-''''''

Eigentlich heißt es:


Summe von v=0 bis 11 für (2v+1)^2  -  Summe von v=2 bis 12 für (2v-3)^2


Also falls jemand (nochmal ^^ ) zu helfen weiß, ich würd mich nochmals freuen.

Answer 1

Summe v=1 bis 11 von (2v-1)²  -  Summe v=2 bis 12 von (2v-3)²

Nimm in der 2. Summe u = v-1, dann ist v=u+1 und 2v-3 = 2(u+1)-3 = 2u-1  und Summiere von u=2-1= 1 bis 12-1=11

Summe v=1 bis 11 von (2v-1)²  -  Summe v=2 bis 12 von (2v-3)²

= Summe v=1 bis 11 von (2v-1)²  -  Summe u=1 bis 11 von (2u-1)²

2 mal dasselbe einmal + einmal minus.

Resultat ist meiner Ansicht nach 0.

Comments

Summe v=1 bis 11 von (2v-1)²  -  Summe v=2 bis 12 von (2v-3)²

Ganz ohne algebraische Tricks kannst du ja einfach alles hinschreiben

1² + 3² + 5² + ....+ 21² - (1² + 3² + 5²+ ...+ 21²) = 0

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Ich hatte sowas nicht in der Schule, aber ich denke, die zweite Summe lässt sich so umformen: v1 bis v11 und (2(v+1)-3)^2. Die Summenformel ist gleich, aber im 2ten Teil ist v um 1 erhöht.

Answer 2

Sorry, habe gerade erst entdeckt, dass diese Frage noch nicht hinreichend beantwortet ist - vielleicht freust du dich ja auch nach 4 Tagen noch .. ? :-)

$$\sum _{ v=0 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=2 }^{ 12 }{ (2v-3)^{ 2 } }$$Aus der ersten Summe das nullte Glied herausziehen und bei der zweiten Summe eine Indextransformation durchführen (Grenzen - 1, Variable + 1 ):$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2(v+1)-3)^{ 2 } }$$Das Innere des zweiten Summenterms ausmultiplizieren:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v-1)^{ 2 } }$$Summenterme ausmultiplizieren und, da die Summengrenzen identisch sind, alles unter eine Summe schreiben:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ \left[ 4v^{ 2 }+4v+1-(4{ v }^{ 2 }-4v+1) \right] }$$Den Summenterm zusammenfassen:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ 8v }$$Konstanten Faktor 8 vor die Summe ziehen$$=1+8\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ v }$$Summe der ersten 11 Zahlen ausrechnen (z. B. mit dem "kleinen Gauß"):$$=1+8*66$$$$=529$$$$={ 23 }^{ 2 }$$