Wurzel x × Wurzel x soll mit Produktregel differenziert werden

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{x} \) × \( \sqrt{x} \) soll mithilfe der Produktregel differenziert werden.

Ansatz:

u/v= x^1/2

u'/v'= 1/2x^-1/2

1/2x^-1/2*x^1/2 + 1/2x^-1/2*x^1/2

Wie genau gehe ich jetzt vor? Wäre u'*v dann 1/2x^0? Das wäre dann ja 0,5+0,5, dementsprechend 1, oder nicht?

Comments

Die Ableitung ist konstant 1, das sieht man schneller als man braucht, um den Rechenweg bei der hier völlig unnötigen Anwendung der Produktregel zu latexieren...

\(\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} ) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) \)

\(= \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} =   x^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{-{\frac{1}{2}}+{\frac{1}{2}}} = x^0 = 1 \)

Answer 1

Ja.

Kontrolle:

√x * √x = √x^2 = x

x gibt abgeleitet 1.

Answer 2

Die beiden Faktoren u und v kann man auch so schreiben:

u=x^1/2 u'=1/2x^-1/2=\( \frac{1}{2x^{1/2}} \).

v=x^1/2 v'=1/2x^-1/2=\( \frac{1}{2x^{1/2}} \).