Zeigen Sie, dass I und R gleichmächtig sind.

Question

Zwei Mengen M1, M2 heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion M1 → M2 gibt. Nun sei I ein beliebiges Intervall.       Zeigen Sie, dass I und R gleichmächtig sind.

[Hinweis: Betrachten Sie (halb-)offene und (halb-)abgeschlossene sowie endliche und unendliche Intervalle getrennt.]

Answer 1

z.B. für das offene Intervall I=] - pi/2 ; pi/2[ ist f(x)= tan(x) so eine

Bijektion. Wenn du ein anderes endliches offenes Intervall hast,

etwa ]a,b[ mit a<b, dann kannst du dieses bijektiv abbilden auf ] - pi/2 ; pi/2[

durch die lineare Funktion, deren Graph durch die Punkte

(a;-pi/2) und (b;pi/2) geht.

Also ist es für endliche offene Intervalle schon mal klar.