Hallo,
zu a)
berechne zunächst die Tangente im Punkt Q (5 | 50-25k)
\( f_{k}(x)=0,2 x^{3}-k x^{2}+5 x \)
\( f_{k}^{\prime}(x)=0,6 x^{2}-2 k x+5 \)
für die Steigung der Tangente berechne f'(5)
\( \begin{aligned} f_{k}^{\prime}(5) &=15-10 t+5 \\ &=20-10 k \end{aligned} \)
allgemeine Tangentengleichung t = mx + n
m ist bestimmt, es fehlt noch n. Dazu die Koordinaten des Punktes und m in die Tangentengleichung einsetzen.
\( t_{k}=(20-10 k) x+n \)
\( 50-25 k=(20-10 k) \cdot 5+n \)
\( 50-25 k=100-50 k+n \)
\( -50+25 k=n \)
Die Gleichung der Tangente lautet also
\( t_{k}=(20-10 k) x-50+25 k \)
Jetzt die Gleichung durch R und Q aufstellen:
Zuerst die Steigung berechnen:
\( \begin{aligned} m=\frac{50-25 k-0}{5-2,5}=& \frac{50-25 k}{2,5}= & 20-10 k \end{aligned} \)
n durch Einsetzen der Koordinaten von R bestimmen:
\( \begin{aligned} 0 &=(20-10 k) \cdot 2,5+n \\ 0 &=50-25 k+n \\-50 &+25 k=n \end{aligned} \)
Damit gezeigt, dass die Gerade durch R und Q identisch mit der Tangente in Q ist.
Gruß, Silvia
