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Aufgabe 2 (Polardarstellung)(4 Punkte)Bestimmen und skizzieren Sie in einem gemeinsamen Schaubild alle (komplexen) Lösungen der Gleichung\( z^{5}=1 \)Hinweis: Denken Sie an die Polardarstellung.
Hallo,
die Gleichung hat fünf komplexe Lösungen. Das erkennst du am Exponenten von z.
Ich finde es am einfachsten, solche Gleichungen mit der Polarform zu lösen.
\(z^5=1\\ (|z|\cdot e^{i\varphi})^5=1\cdot e^{i \cdot n\cdot 2\pi}\\ \blue{ |z|^5}\cdot e^{i\cdot\green {5\varphi}}=\blue1\cdot e^{i \cdot\green{ n\cdot 2\pi}}\\ |z|^5=1~~~;~~~5\varphi=n\cdot2\pi ~~~;~~~n\in\N_0\\ |z|=1\\ \varphi_1=0=0°\\ \varphi_2=2\pi/5=72°\\ \varphi_3=4\pi/5=144° \\ \varphi_4=6\pi/5=216° \\ \varphi_5=8\pi/5=288° \)
Hallo und danke für die Hilfe. Leider bin ich im Umgang mit komplexen Zahlen noch ein Leie - kannst du deshalb noch erklären wie du genau auf die Lösung gekommen bist und was die Zeichen bedeuten
Danke und LG,
Chris
weißt du denn, was die Polarform ist?
Immerhin wird der Begriff "Polardarstellung" ja in der Aufgabe verwendet.
Ja das ist ja die Darstellung mit real und imaginärteil. Allerdings verstehe ich nicht wieso du e verwendest und dieses e hoch n * 2π
LG,
Dann weißt du offensichtlich nicht, was die Polarform ist.
:-)
Bei der Polarform sind nicht Real- und Imaginärteil entscheidend, sondern der Betrag |z| bzw r und der Winkel \(\varphi\) zwischen dem Zeiger und der positiven reellen Achse.
Die Zahl z schreibt man dann so:
\(|z|\cdot e^{i\varphi}\)
Die Polarform hat den Vorteil, dass Potenzieren mit einer natürlichen Zahl n ganz einfach ist.
Der Betrag wird mit n potenziert und der Winkel mit n multipliziert.
Das siehst du in der dritten Zeile meiner Rechnung.
Die Zahl 1 ist reell. Ihr Winkel ist daher gleich 0 bzw. 2π bzw. 4π usw.
Deswegen n*2π.
Ok aber wie kommst du von der 2ten auf die dritte Zeile, ich verstehe die Darstellung in Polarform, allerdings nicht deine Umformung.
Weil wenn man die Klammer in der zweiten Zeile auflösen würde würde ja |z|^5 * e^iφ*5 rauskommen ?
Hast du e^ i weggekürzt auf beiden Seiten ?
Nein, nicht weggekürzt, sondern verglichen.
Ich habe meine Antwort ergänzt.
Die Lösungen liegen gleichmäßig auf einem Einheitskreis verteilt.
Danke für deine Hilfe. Wäre es möglich noch deine Rechenschritte zu erklären , bzw. wie du drauf gekommen bist.
Die Lösungen sind also, wie Roland es schön dargestellt hat:
\(\exp(0\cdot 2\pi i/5), \; \exp(1\cdot 2 \pi i/5), \; \exp(2\cdot 2 \pi i/5),\)
\(\exp(3\cdot 2 \pi i/5), \; \exp(4\cdot 2 \pi i/5)\).
Es gilt \(\exp(\phi\cdot i)=\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi)\).
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