Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Weiter seien uˆ, u˜ ∈ V und f ∈ L(V, V ).

Beweisen oder widerlege folgende Aussagen.

(a) Ist U = Span{uˆ, u˜} ein f-invarianter Unterraum von V , so ist jedes Element v von U ein Eigenvektor von f.
(b) Ist f : ℂ^2,2→ℂ^2,2, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ↦ $\begin{pmatrix} a & b+a \\ c+a & d \end{pmatrix}$, so gilt

g(1, f) = 1.

Answer 1

Hallo :-)

(b) sieht etwas unvollständig aus. Was bedeutet $g(1,f)$?

(a) ist falsch. Betrachte dazu

$$f:\ \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \ \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\b+3c\\2c\end{pmatrix}$$

Durch Nachrechnen erhält man, dass $1$ Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ sowie $2$ Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor $\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}$ von $f$ sind.

Setze nun

$$U:=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\right).$$

Dann ist mit $u:=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\in U$ auch

$$f(u)=f\left(\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(\alpha+3\cdot \beta)+3\cdot \beta\\3\cdot \beta+3\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+6\cdot \beta\\6\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}\\=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot \beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U,$$

sodass $U$ ein $f$-invarianter Unterraum ist.

Betrachte nun mit $v=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U$ den Vektor

$$f(v)=f\left(\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4+3\\3+3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}.$$

Dann gilt für alle $\lambda\in \mathbb{R}$ stets $f(v)=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}\neq \lambda\cdot \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot v$, sodass $v=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}$ kein Eigenvektor von $f$ ist.

Comments

habe das mit b) auch nicht verstanden, aber es sind keine weiteren Infos gegeben.

Vielen Dank für die Hilfe!