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Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Weiter seien uˆ, u˜ ∈ V und f ∈ L(V, V ).

Beweisen oder widerlege folgende Aussagen.


(a) Ist U = Span{uˆ, u˜} ein f-invarianter Unterraum von V , so ist jedes Element v von U ein Eigenvektor von f.
(b) Ist f : ℂ2,2→ℂ2,2(abcd) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  ↦ (ab+ac+ad) \begin{pmatrix} a & b+a \\ c+a & d \end{pmatrix} , so gilt

g(1, f) = 1.

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Hallo :-)

(b) sieht etwas unvollständig aus. Was bedeutet g(1,f)g(1,f)?

(a) ist falsch. Betrachte dazu

f :  R3R3, (abc)(110013002)(abc)=(a+bb+3c2c) f:\ \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \ \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\b+3c\\2c\end{pmatrix}

Durch Nachrechnen erhält man, dass 11 Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} sowie 22 Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor (331)\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix} von ff sind.

Setze nun

U : =span((100),(331)).U:=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\right).

Dann ist mit u : =α(100)+β(331)=(α+3β3ββ)Uu:=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\in U auch

f(u)=f((α+3β3ββ))=((α+3β)+3β3β+3β2β)=(α+6β6β2β)=α(100)+2β(331)U, f(u)=f\left(\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(\alpha+3\cdot \beta)+3\cdot \beta\\3\cdot \beta+3\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+6\cdot \beta\\6\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}\\=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot \beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U,

sodass UU ein ff-invarianter Unterraum ist.

Betrachte nun mit v=(431)=1(100)+1(331)Uv=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U den Vektor

f(v)=f((431))=(4+33+32)=(762). f(v)=f\left(\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4+3\\3+3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}.

Dann gilt für alle λR\lambda\in \mathbb{R} stets f(v)=(762)λ(431)=λvf(v)=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}\neq \lambda\cdot \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot v, sodass v=(431)v=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix} kein Eigenvektor von ff ist.

Avatar von 15 k

habe das mit b) auch nicht verstanden, aber es sind keine weiteren Infos gegeben.

Vielen Dank für die Hilfe!

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