Hallo :-)
(b) sieht etwas unvollständig aus. Was bedeutet g(1,f)?
(a) ist falsch. Betrachte dazu
f : R3→R3, ⎝⎛abc⎠⎞↦⎝⎛100110032⎠⎞⋅⎝⎛abc⎠⎞=⎝⎛a+bb+3c2c⎠⎞
Durch Nachrechnen erhält man, dass 1 Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor ⎝⎛100⎠⎞ sowie 2 Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor ⎝⎛331⎠⎞ von f sind.
Setze nun
U : =span⎝⎛⎝⎛100⎠⎞,⎝⎛331⎠⎞⎠⎞.
Dann ist mit u : =α⋅⎝⎛100⎠⎞+β⋅⎝⎛331⎠⎞=⎝⎛α+3⋅β3⋅ββ⎠⎞∈U auch
f(u)=f⎝⎛⎝⎛α+3⋅β3⋅ββ⎠⎞⎠⎞=⎝⎛(α+3⋅β)+3⋅β3⋅β+3⋅β2⋅β⎠⎞=⎝⎛α+6⋅β6⋅β2⋅β⎠⎞=α⋅⎝⎛100⎠⎞+2⋅β⋅⎝⎛331⎠⎞∈U,
sodass U ein f-invarianter Unterraum ist.
Betrachte nun mit v=⎝⎛431⎠⎞=1⋅⎝⎛100⎠⎞+1⋅⎝⎛331⎠⎞∈U den Vektor
f(v)=f⎝⎛⎝⎛431⎠⎞⎠⎞=⎝⎛4+33+32⎠⎞=⎝⎛762⎠⎞.
Dann gilt für alle λ∈R stets f(v)=⎝⎛762⎠⎞=λ⋅⎝⎛431⎠⎞=λ⋅v, sodass v=⎝⎛431⎠⎞ kein Eigenvektor von f ist.