Hat jemand ein einfaches Beispiel um das hier zu widerlegen?

Question

Aufgabe:

x, y monoton wachsend =⇒ x ·y monoton wachsend.

Hallo hat jemand ein einfaches beispiel für mich um das hier zu wiederlegen?

danke

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Siehe Anwort unten.

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x ∈ { 1, 2, 3 }

y ∈ { -3, -2, -1 }

x*y ∈ { -3, -4 -3 }

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Betrchte z.B. die Funktionen

$f(x) = x$

$g(x) = -e^{-x}-1$

Die sind beide monton steigend $f'(x) = 1 \ge 0$ und $g'(x) = e^{-x} \ge 0$

Jetzt ist $(f \cdot g)(x) = -xe^{-x} - x$

Ableitung

$(f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = -e^{-x} - 1 + xe^{-x} = e^{-x}(x-1 - e^x)$

Es gilt aber für alle x $e^x > x$, somit $0 > x - e^x > x - 1 - e^x$, da aber $e^{-x} > 0$ ist somit $(f\cdot g)'(x) < 0$ und das Produkt somit monoton fallend.

Answer 1

$x_n=y_n=-1/n$ wachsen monoton, aber $(x_n \cdot y_n)=(1/n^2)$ fällt monoton.

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Vielen Dank!