Bestimmen Sie an der Stelle a=2 die Gleichung der Tangente an den Graphen von f.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie an der Stelle \(a=2\) die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\).$$f(x)=(x-1)^7\\ f(x)=\sqrt{x^2+5}\\ f(x)=2(x^2+x-1)^2\cdot\cos(2-x)$$

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bitte erklären,wie ich die Gleichung der Tangente berechne?

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangente \(t(x)\) an einen Punkt \(x_0\) der Funktion \(f(x)\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Du brauchst also eigentlich nur den Funktionswert \(f(x_0)\) und die Ableitung \(f'(x_0)\) der Funktion an der Stelle \(x_0\) auszurechnen.

Wir machen das mal für die (a) zusammen:$$f(x)=(x-1)^7\quad;\quad x_0=2\quad\implies$$$$f(x_0)=f(2)=1$$$$ f'(x)=7(x-1)^6\quad\implies\quad f'(x_0)=f'(2)=7$$Das setzen wir in die Tangentenformel ein:$$t(x)=1+7\cdot(x-2)=7x-13$$

Probier mal (b) und (c) alleine. Wenn du Probleme hast, einfach nochmal hier melden.

Zur Kontrolle für (b):\(\quad f(2)=3\quad;\quad f'(2)=\frac23\)

Zur Kontrolle für (c):\(\quad f(2)=50\quad;\quad f'(2)=100\)

Answer 2

Es geht damit los, an der bewussten Stelle die erste Ableitung (als Maß für dfen jeweiligen Anstieg) zu bestimmen.

Was erhältst du da bei der ersten, bei der zweiten und bei der dritten Funktion?