Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
Beispiel. In der Gleichung
(1) (x−3)⋅(x+5)=0
ist das Produkt (x−3)⋅(x+5) Null, weil das ist ja, was "=0" bedeutet.
Also muss der Faktor x−3 Null sein oder der Faktor x+5 muss Null sein. Das kann man formulieren mittels
(2) x−3=0
(3) x+5=0
Die Lösungen von (1) bekommst du wegen des Satzes vom Nullprodukt also indem du die Gleichungen (2) und (3) löst.
Verifizieren Sie, dass eine Nullstelle
x1=−2 lautet.
Berechne P(−2).
Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Polynomfunktion
P(x)=6x3+13x2+x−2
Führe die Polynomdivision P(x) : (x−(−2)) durch. Ergebnis ist ein Polynom S(x).
Löse die Gleichung
S(x)⋅(x−(−2))=0
mittels Satz vom Nullprodukt.
(ii) Sei nun
Q : R→R die Polynomfunktion
Q(x) : =(x2+1)(x+1)(x2−1)(x−2)
Satz vom Nullprodukt
(iii) Wir betrachten die Polynomfunktion
R : R→R mit
R(x) : =x10−15x8+85x6−225x4+274x2−120Nullstellen von
R sind
x1=1,x2=2,x3=−3,x4=−2,x5=5
Satz vom Nullprodukt nach geeigneten Polynomdivisionen.