R-Vektorraum und endlichdimensionale Vektorräume

Question

Aufgabe:

1) Sei V ein Vektorraum und M = {v₁, . . . , v_n} ⊆ V. M ist eine Basis von V genau dann, wenn ...

(i) Die lineare Hülle von M ist V.

(ii) Für jedes v ∈ V gibt es eindeutige α₁, . . . ,α_n, sodass v =∑ⁿ_i=1  α_i ν_j

(iii) M ist linear unabhängig und V ist n-dimensional.

(iv)  〈M〉 = V und für alle M'⊂ M gilt 〈M'〉 ⊂ V

2) Wir betrachten den R-Vektorraum der Folgen V₁ = Abb(ℕ,ℝ) und den ℝ-Vektorraum aller endlichen Folgen V₂ = c₀.
(i) V₂ ist ein Untervektorraum von V₁

(ii) Die Menge {e^(k): k ∈ ℕ} ist eine Basis von V₁ (wobei e^(k) definiert ist mit e^(k) = (δ_jk) j ∈ ℕ, k ∈ ℕ

(iii) Die Menge {e^(k): k ∈ ℕ} ist eine Basis von V₂.

(iv) V₁ und V₂ sind unendlichdimensional.

Problem/Ansatz:

Ich soll sagen, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

Mein Ansatz bei 1 ist:

i = wahr weil M eine Teilmenge von V ist

ii = falsch

iii = wahr

iv = falsch, weil ⊆ gelten muss

Bei 2 bin ich ratlos.

Answer 1

Mein Ansatz bei 1 ist:

i = wahr weil M eine Teilmenge von V ist

Nein, wenn die v's lin. abhängig sind, ist es keine

Basis.

ii = wahr, dann gibt es für die Darstellung des 0-Vektors auch

nur die mit allen Koeffizienten gleich 0

iii = wahr

iv auch wahr.

Comments

Vielen Dank! Hast du auch einen Ansatz, wie ich bei der 2 vorgehen kann, bzw. auf die Lösung komme?

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Ich würde mal sagen

2 i ist falsch, denn eine "endliche Folge", also ein

Element aus ℝ^n für irgendein n ist keine Folge

ii stimmt

iii ist falsch, das sind keine endlichen Folgen.

iv stimmt