Zeige, dass k^n genau … verschiedene Basen besitzt

Question

Aufgabe: Sei k ein endlicher Körper mit q Elementen, n eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass kⁿ genau (qⁿ −1)(qⁿ −q) · · · (qⁿ −qⁿ⁻¹) verschiedene Basen besitzt. Dabei werden Basen als geordnete Tupel gezählt, also zählen (b₁,b₂) und (b₂,b₁) als verschiedene Basen.

Answer 1

Eine Basis eines Vektorraums besteht aus n linear unabhängigen Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen.

Für den ersten Vektor gibt es (qⁿ - 1) mögliche Vektoren (alle außer dem Nullvektor).
Für den zweiten Vektor gibt es nun  (qⁿ - q) Möglichkeiten, da der Vektor nicht im eindimensionalen Unterraum liegen darf, der vom ersten Vektor aufgespannt wird. Dieser hat q Vektoren, denn bei einem Körper mit q Elementen gibt es genau q Vielfache von dem ersten Vektor.

Für den dritten Vektor völlig analog: Der von den ersten beiden Vektoren aufgespannte Unterraum hat die Dimension 2 und er enthält q*q Vektoren, also gibt es (qⁿ - q²) Möglichkeiten

Etc. die übrigen und das Produkt aller gefundenen Möglichkeiten ist die Gesamtzahl aller möglichen Basen.