Wenn f(x)g(x) = x und f(0)=0 dann g(0) ≠ 0 wenn f,g differenzierbar

Question

Hiho,

wie geht man an diese Aufgabe?

Ich habe keine Idee wie ich das beweisen soll.

Answer 1

f(x) • g(x) = x   für alle x ∈ I

Gleichung auf beiden Seiten ableiten:

→  [ f(x) • g(x) ] '  = 1

Produktregel:

→ f '(x) • g(x) + f(x) • g'(x) = 1

f(0) = 0:

→ f '(x) • g(x) = 1

→ g(x) ≠ 0    ( und f '(x) ≠0 )

Gruß Wolfgang

Answer 2

Bilde mal die Ableitung bei x=0 Das ist  einersiets

(f(x)*g(x) ' ( 0) = f '(0) * g(0) + g ' (0) * f(0)  = f '(0) * g(0) + 0 = f '(0) * g(0)

andererseits  (f(x)*g(x) '  (x)  = 1    weil f(x)*g(x) = x

Also   f ' (0) * g ' (0 ) =  1 also beide Faktoren ungleich 0.