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Aufgabe: Approximation mit Taylorreihe


Problem/Ansatz: In meiner Vorlesung wird folgende Approximation durchgeführt: 1/(1-(1+r)^-t) ist ungefähr 0,5 + 1/(ln(1+r)*t).

Habe es leider nicht geschafft es selbst herzuleiten. Kann mir jemand helfen?


Viele Grüße,

Julius

von

An welcher Stelle soll denn approximiert werden?

Ja ich dachte auch ich brauche eine Stelle zum approximieren. Aber steht da nicht drin. Da steht einfach, dass es eine Taylor-Approximation (des Barwertfaktors) sein soll.

Die Stelle ist \(r_0=0\). Das sieht man, wenn man sich die Graphen der Funktionen anschaut. Hier z.B. für \(t=2\)

~plot~ 1/(1-(1+x)^(-(2)));0.5+1/(ln(1+x)*(2)) ~plot~

das ist insbesondere deshalb erstaunlich, da beide Funktionen bei \(r=0\) einen Pol haben!

Vielen Dank für die Antwort.

Also das Ziel der Approximation ist es eine Funktion ohne das t im Exponenten zu bekommen, weil es sonst schwierig ist damit weiter zu rechnen. Das r stellt hierbei eine kleine Zahl dar, in diesem Fall einen Zinssatz. Die Approximation soll gut sein für kleine r, z.B. 0,05. Verstehe nur leider nicht, wie die Approximation entstanden ist.

Was ist da der Ansatz?

Was ist da der Ansatz?

das ist die Frage! Ich erwähnte ja bereits, dass die Funktion bei \(r=0\) (und \(t=0\)) ins unendliche abgeht. Welche von den beiden ist denn die freie Variable? \(r\) oder \(t\)?

Ja tut mir leid, war nicht ideal gestellt die Frage, t ist die Variable und r ist ein Parameter.

ich habe keine Idee, wie das geht.

Also die Funktion ist$$f_r(t) = \frac{1}{1-(1+r)^{-t}}$$und ihre Ableitung nach \(t\) ist lt. Wolfram Alpha$$\frac{\partial f}{\partial t} = -\frac{(1+r)^t \ln(r+1)}{(1-(1+r)^t)^2}$$und wenn man dies um einen Punkt \(t=a\) entwickelt$$T_1(f(t,a))(t) = f(a) + f'(a)t$$und \(a\) gegen 0 gehen lässt, komme ich da nicht weiter!

Zum Hintergrund:

Der eingangs vom Fragesteller angegebene Faktor ist der Faktor, mit dem man den Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente multiplizieren muss, wenn die Rente nur t Jahre bezahlt wird.

Das kann ja auch eigentich auch gar keine Taylorentwicklung sein, sonst müsste die Näherungsfunktion entweder linear oder quadratisch, bzw. zumindest ein Polynom in \( t \) sein. Bei der angegebenen Näherung steht aber \( t \) im Nenner. Da steckt was anderes dahinter.

Vielleicht sollte die Funktion \(\dfrac t{1-(1+r)^{-t}}\) in eine Taylorreihe entwickelt und anschließend durch \(t\) dividiert werden. Lt. Wolframalpha ist$$\dfrac t{1-(1+r)^{-t}}=\frac1{\log(1+r)}+\frac t2+O(t^2).$$Division durch \(t\) liefert die Aussage.

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