Zeigen Sie, dass dann fur alle ¨ v, w ∈ K2 gilt, dass D(v, w) = det(v,w)

Question

Aufgabe:

Sei D : (K²)² → K so, dass für alle α, β ∈ K und u, v, w ∈ K² die Gleichheiten D(αu + βv, w) =
αD(u, w) + βD(v, w), D(u, αv + βw) = αD(u, v) + βD(u, w), D(u, u) = 0 und D((1, 0),(0, 1)) = 1
gelten. Zeigen Sie, dass dann fur alle ¨ v, w ∈ K2 gilt, dass D(v, w) = det(v,w)

Problem/Ansatz:

Ich weißdas die Determinante v1*w2 - v2*w1 ergibt aber wie kann ich jetzt zeigen dass D(v,w) = v1*w2 - v2*w1 ergibt.

Answer 1

Wir haben für beliebige Vektoren $v,w\in K^2$:

$0=D(v+w,v+w)=D(v,v)+D(v,w)+D(w,v)+D(w,w)=$

$=D(v,w)+D(w,v)\Rightarrow D(w,v)=-D(v,w)$.

Für die beiden Standardeinheitsvektoren $e_1,e_2$ gilt daher

$D(e_2,e_1)=-D(e_1,e_2)=-1$.

Mit $v=v_1e_1+v_2e_2,\; w=w_1e_1+w_2e_2$ ergibt sich

$D(v_1e_1+v_2e_2,\; w_1e_1+w_2e_2)=$

$=v_1w_1D(e_1,e_1)+v_1w_2D(e_1,e_2)+v_2w_1D(e_2,e_1)+v_2w_2D(e_2,e_2)=$

$0+v_1w_2\cdot 1+v_2w_1\cdot(-1)+0=v_1w_2-v_2w_1=\det(v,w)$