Polardarstellung und Additionstheorie

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(i) Schreiben Sie die in Polarkoordinaten gegebenen komplexen Zahlen in kartesischen Koordinaten:
a) \( r=2, \phi=\pi \)
b) \( r=\frac{1}{2}, \phi=270^{\circ} \)
(ii) Sei die komplexe Zahl \( z=-1-i \) gegeben. Bestimmen Sie die Polarkoordinaten \( r \) und \( \phi \) von \( z \).
(iii) Verwenden Sie die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus, um folgenden Identitäten zu zeigen:
a)
\( \sin (x+\pi / 2)=\cos (x) \)
b)
\( \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \cdot \tan y} \)

Answer 1

Aloha :)

zu i) \(\qquad\binom{-2}{0}\quad;\quad\binom{0}{-\frac12}\)

zu ii)\(\qquad\binom{-1}{-1}\quad\implies\quad r=\sqrt2\quad;\quad\varphi=225^\circ\)

zu iii) Gemäß der Definition des Cosinus als Sinus des Complementwinkels gilt:$$\cos x\coloneqq\sin\left(\frac\pi2-x\right)=-\sin\left(x-\frac\pi2\right)=\sin\left(x-\frac\pi2+\pi\right)=\sin\left(x+\frac\pi2\right)$$Teil (b) zeigt man am besten von rechts nach links mit den Additionstheoremen:$$\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\sin y}{\cos y}}=\frac{\cos x\cos y\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}\right)}{\cos x\cos y\left(1-\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\sin y}{\cos y}\right)}$$$$\phantom{\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}=\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}=\tan(x+y)$$

Comments

Sollte bei der ii) nicht 45 grad als Winkel rauskommen ?

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Bei (ii) hat der Punkt die Koordinaten \((-1|-1)\). Das liegt im dritten Quadranten, links unten. Der Winkel wird ausgehend von der Realteil-Achse gemessen. Das heißt, entweder \(225^\circ\) oder \(-135^\circ\). Bei \(45^\circ\) würdest du im ersten Quadranten beim Punkt \((1|1)\) landen.

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Deine Erklärung macht sinn aber gemäss der Formel ist der Winkel = arctan(x), in unserem Fall arctan(-1/-1) was 45 ° rausbringt

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Oha, Vorsicht!!! Die \(\arctan\)-Funktion ist \(\pi\)-periodisch.

$$\arctan\left(\frac{-1}{-1}\right)=\arctan(1)=\arctan\left(\frac11\right)$$

Die \(\arctan\)-Funktion kann nicht zwischen dem 1-ten und dem 3-ten Quadranten unterscheiden. Sie kann auch nicht zwischen dem 2-ten und 4-ten Quadranten unterscheiden.

Wenn du den Polarwinkel mit dem Acrus-Tangens bestimmen möchtest, musst du zum Ergebnis \(180^\circ\) bzw. \(\pi\) addieren, wenn der Realteil negativ ist.

Einige gute Taschenrechner bieten die Funktion \(\operatorname{atan2}(y;x)\). Dort kannst du Imaginärteil \((y)\) und Realteil \((x)\) getrennt eingeben und bekommst dann immer den richtigen Winkel.