Beweisen Sie die folgende Aussagen ohne den binomischen Lehrsatz zu verwenden.

Question

Seien \( k, n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( 0 \leq k \leq n . \) Beweisen Sie die folgenden Aussagen ohne den binomischen Lehrsatz zu verwenden:

(a) \( \left(\begin{array}{l}\mathrm{n} \\ \mathrm{k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{n} \\ n-k\end{array}\right) \)

(b) \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n-k+1}{k}\left(\begin{array}{c}n \\ k-1\end{array}\right) \)

(c) \( \left(\begin{array}{l}n+1 \\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n \\ k+1\end{array}\right) \)

(d) Gibt es \( 1 \leq r \leq n-1 \) mit \( \left(\begin{array}{c}n \\ r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ r-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ r+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right) \), dann ist \( n+2=m^{2} \) für ein \( m \in \mathbb{Z} \).

Answer 1

(a) \({n \choose n-k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\left(n-\left(n-k\right)\right)!}=\dots={n \choose k}\)

(b) \(\frac{n-k+1}{k}{n \choose k-1}=\frac{n-k+1}{k}\cdot\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-\left(k-1\right)\right)!}=\dots={n \choose k}\)

(c) Die \(k+1\)-elementigen Teilmengen von \(\{1, \dots,n+1\}\) lassen sich in zwei Gruppen einteilen.

1. Die Teilmengen, die \(n+1\) nicht als Element enthalten.
2. Die Teilmengen, die \(n+1\) als Element enthalten.

Von ersteren gibt es \(n \choose {k+1}\), weil es die \(k+1\)-elementigen Teilmengen von \(\{1, \dots,n\}\) sind.

Zweitere entstehen indem man zu jeder der \(k\)-elementigen Teilmengen von \(\{1,\dots,n\}\) das Element \(n+1\) hinzufügt. Derer gibt es also \(n\choose k\).

Comments

Weißt du, wie man d beweisen kann?

---

wie man d beweisen kann

Versuche es mit   m = n - 2r

---

Hab versucht, aber ich komme nicht weiter :(

---

Schreibe beide Seiten mithilfe von Fakultäten, addiere Brüche (Hauptnenner), kürze mit n!, fasse zusammen, löse nach n+2 auf : n+2 = (n-2r)^2