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∑ (-1)k (n tief k) = 0

Für alle n ∈ ℕ \ {0} gelten

k=0n(1)k(nk)=0 \sum _{ k=0 }^{ n }{ { (-1) }^{ k } } (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})=0


Hinweis : Esist(nk)=(nnk)fu¨ralle0kn. Hinweis:\\ Es\quad ist\quad (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})=(\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix})\quad für\quad alle\quad 0\le k\le n.

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Der binomische Lehrsatz lautet(x+y)n=k=0n(nk)xnkyk.(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k.Wähle x=1x=1 und y=1y=-1.
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Aber was macht man mit den (-1)k....lässt man die einfach vor der formel des bi.Lehrsatzes stehen?

Links: (1-1)n = 0n = 0.

Du meinst 0n=00^n=0?

Danke. Ja! Wird korrigiert.

Danke das habe ich verstanden, aber ich meinte wie man die (-1)k nach der Summe (sorry ich kann es leider nicht mathematisch eintippen) mit in den binomischen Lehrsatz einbezieht. Danke für die Antwort :-)

Etwas ausführlicher:0=(1+(1))n=k=0n(nk)1nk(1)k=k=0n(1)k(nk).0=\big(1+(-1)\big)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk1^{n-k}\cdot(-1)^k=\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot\binom nk.

Fehlt da nicht noch was?

Fortune95: Was vermisst du denn?

1n-k = 1.

Danke meine Frage hat sich erledigt :)

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