Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach x Metern?

Question

Aufgabe:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden

y=b₁+b₂⋅x+b₃⋅x²,


wobei x die zurückgelegten Meter der Kugel, y die Höhe der Kugel in Metern, und b1,b2,b3 die Parameter der Kugel bezeichnen.

Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

xi	6	12	17	20
yi	130	204	220	216

a. Ermitteln Sie den Parameter b₁ der Flugbahn.
b. Ermitteln Sie den Parameter b₂ der Flugbahn.
c. Ermitteln Sie den Parameter b₃ der Flugbahn.
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 22 Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Problem/Ansatz:

Habe gesehen, dass es hier schon mehrere Fragestellungen zu diesem Thema gibt, komme aber trotzdem nicht auf die richtigen Ergebnisse..wäre super dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:)

Meine Ergebnisse lauten:

a. 3,78

b. 27,28

c. -0,83

d. 202,22

e. 33,00

Comments

Wie hast Du das denn ausgerechnet?

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Ich habe zunächst die 3 Gleichungen aufgestellt und sie dann mit Hilfe eines Onlinerechners berechnet..bei d und e habe ich dann die jeweiligen Werte für x eingesetzt, aber scheint falsch zu sein, da bereits die anderen Ergebnisse falsch waren..

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Also dasselbe Problem wie gestern bei https://www.mathelounge.de/893807/

Du sollst auch den vierten Messwert berücksichtigen.

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Aber wie komme ich dann auf die richtigen Ergebnisse? Ich hatte mir das bereits gestern angeschaut, habe es aber nicht verstanden.

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Man minimiert die Quadrate der Abweichungen zwischen gemessenem y-Wert und gerechnetem y-Wert. Siehe auch Antwort unten von "oswald".

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Wenn du 3 Unbekannte hast und 4 Werte
mußt du wenn du alle Werte berücksichtigen
willst eine Ausgleichsfunktion 3.Grades
berechnen.

Es sei denn du rechnest mit 3 der Werte eine
Funktion 3.Grades aus. Es kann sein das
der 4.Wert bereits auf der Funktion liegt.

Answer 1

vgl. meinen Kommentar weiter oben: "Man minimiert die Quadrate der Abweichungen zwischen gemessenem y-Wert und gerechnetem y-Wert."

ergibt die Funktion

y = -24712/32847x² + 841490/32847x + 40414/10949

Comments

Vielen Dank, also muss ich bei der d nur mehr 22 für x einsetzen und bei der e 0 richtig?:)

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Deine Idee für d) ist richtig, aber x = 0 wäre bei e) eine falsche Antwort. Wie kommst Du darauf?

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Ich hatte mir nur mal gedacht, dass die Höhe, sobald die Kugel auftritt 0 beträgt..aber das Ergebnis hätte mir schon sagen müssen, dass das nicht stimmen kann

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Die Höhe schon, aber das ist der y-Wert. Die Weite ist der x-Wert.

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Also muss ich da einfach mur die Nullstelle berechnen oder? Weil mir das x ka unbekannt ist:)

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Wenn gefragt wird, bei welchem x die Höhe f(x) = 0, dann sollst Du in der Tat die Nullstelle von f(x) berechnen.

Man sieht in meiner Graphik, dass die irgendwo zwischen 30 und 35 ist.

Ich würde die Mitternachtsformel verwenden.

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Super danke, dann versuch ich das gleich:)

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Ich hätte für d also 203,17 und für e 34,30..könnte stimmen oder?:)

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Bei d) bin ich einverstanden, bei e) hast Du wahrscheinlich zu früh gerundet. Es ist eher 34,19535...

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Habs nochmal nachgerechnet und 24,20 rausbekommen

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34,20 wollte ich schreiben:)

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Habs nochmal nachgerechnet und 24,20 rausbekommen

vgl. oben:

Man sieht in meiner Graphik, dass die irgendwo zwischen 30 und 35 ist.

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Dankee für deine Hilfe!:)

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Gerne geschehen. Irgendwo in Deinem Lehrstoff sollte etwas über Regressionsanalyse stehen. Darum geht es hier. In der kurzgefassten Antwort von "oswald" steht übrigens nichts anderes als in meiner.

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In der Fragestellung heißt es
" annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden "
Das heißt eine Regressionsfunktion wird
gewünscht.
Einen Online-Regressionsrechner hast
du ja schon verwendet.

Bei Bedarf kann ich das Ergebnis auch
einmal ausrechnen.

Answer 2

\(f(x) = b_1+b_2x+b_3x^2\)

\(d(b_1, b_2, b_3) = \sum\limits_{i=1}^4(f(x_i) - y_i)^2\).

Bestimme den Tiefpunkt von \(d\)