Sei \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) mit \( A \cdot \vec{v} = \vec{0} \) und \( \vec{v} \ne \vec{0} \)
==> ax + by=0 und cx + dy = 0
Wähle dann \(C = \begin{pmatrix} x & x \\ y & y \end{pmatrix}\).
Dann ist C nicht die Nullmatrix, weil ja x oder y ungleich 0 sind,
und es gilt A*C= 0-Matrix.
Also existiert so ein C.
Ist umgekehrt C so eine Matrix, etwa \(C = \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}\).
mit AC=0 .
==> ar+bt=0 und cr+dt=0
und as+bu = 0 und cs+du=0
Addition von 1. mit 3. und 2. mit 4. Gleichung zeigt
a(r+s)+b(t+u)=0 und c*(r+s)+d*(t+u)=0. Also wäre
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} r+s \\ t+u \end{pmatrix}\)ein Vektor mit \( A \cdot \vec{v} = 0\)
Fehlt noch ein gutes Argument, warum das nicht so ist, oder ob es in dem Fall
einen anderen gibt.
b) Sei \(C = \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}\) eine solche Matrix.
Für α=0 ist A die Einheitsmatrix, und da existiert so ein C sicher nicht.
Sei also α≠0. Bei A*C=0 ergäbe sich dann
c*α+a=0 und d*α+b=0 und a*α+c=0 und b*α+d=0
also a = -c*α und mit der 3. dann -c*α*α+c=0
==> c * ( -α*α+1) =0
Entsprechendes auch mit a,b und d . Da mindestens
eine der Variablen nicht 0 ist, also 1 = α^2
Somit 1 = α oder -1 = α
