Matrix A bestimmen, sodass A * C = 0 , C€R2x2

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: Es existiert genau dann eine Matrix $C \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \backslash\{\mathbf{0}\}$ mit $A C=\mathbf{0}$, wenn ein Vektor $v \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{\mathbf{0}\}$ mit $A v=0$ existiert.
(b) Gegeben sei die Matrix $A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{cc}1 & \alpha \\ \alpha & 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$. Bestimmen Sie die Menge aller $\alpha \in \mathbb{R}$, für die eine Matrix $C \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \backslash\{0\}$ mit $A_{\alpha} C=0$ existiert.

Problem/Ansatz:

Was ist A? Nicht der Nullvektor oder? Wie kommt man drauf?

Comments

A soll eine 2x2-Matrix sein.

Answer 1

Sei $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$  mit $A \cdot \vec{v} = \vec{0}$ und $\vec{v} \ne \vec{0}$

==>   ax + by=0  und  cx + dy = 0

Wähle dann $C = \begin{pmatrix} x & x \\ y & y \end{pmatrix}$.

Dann ist C nicht die Nullmatrix, weil ja x oder y ungleich 0 sind,

und es gilt A*C= 0-Matrix.

Also existiert so ein C.

Ist umgekehrt C so eine Matrix, etwa $C = \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$.

mit AC=0 .

==>  ar+bt=0 und cr+dt=0

und as+bu = 0  und cs+du=0

Addition von 1. mit 3. und 2. mit 4. Gleichung zeigt

a(r+s)+b(t+u)=0 und c*(r+s)+d*(t+u)=0. Also wäre

$\vec{v} = \begin{pmatrix} r+s \\ t+u \end{pmatrix}$ein Vektor mit $A \cdot \vec{v} = 0$

Fehlt noch ein gutes Argument, warum das nicht so ist, oder ob es in dem Fall

einen anderen gibt.

b)  Sei $C = \begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$ eine solche Matrix.

Für α=0 ist A die Einheitsmatrix, und da existiert so ein C sicher nicht.

Sei also α≠0. Bei A*C=0 ergäbe sich dann

c*α+a=0 und d*α+b=0 und a*α+c=0 und b*α+d=0

also a = -c*α und mit der 3. dann  -c*α*α+c=0

                                     ==>  c * ( -α*α+1) =0

Entsprechendes auch mit a,b und d . Da mindestens

eine der Variablen nicht 0 ist, also  1 = α²

Somit   1 = α   oder   -1 = α