Aufgabe:
Grenzwert
Problem/Ansatz:
lim x2-x/ x-1
x-> 1
mit der h Methode
x= 1+h
Bitte setze Klammern, damit es eindeutig wird.
lim (x2-x)/ (x-1)x-> 1mit der h Methodex= 1+h
x2−xx−1 \frac{x^2-x}{x-1} x−1x2−x für x=1+h gibt das
(1+h)2−(1+h)(1+h)−1=1+2h+h2−1−hh \frac{(1+h)^2-(1+h)}{(1+h)-1}= \frac{1 +2h + h^2 -1-h}{h} (1+h)−1(1+h)2−(1+h)=h1+2h+h2−1−h
=h+h2h=1+h = \frac{h + h^2 }{h} = 1 + h =hh+h2=1+h und für h gegen 0 geht das gegen 1.
Kannst aber auch so argumentieren
x2−xx−1=x(x−1)x−1 \frac{x^2-x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} x−1x2−x=x−1x(x−1)
und für x≠1 ist das immer gleich x, also ist auch
der GW für x gegen 1 gleich 1.
x2−xx−1=(1+h)2−(1+h)(1+h)−1=h2+hh=h+1→1\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{(1+h)^2-(1+h)}{(1+h)-1}=\frac{h^2+h}{h}=h+1\rightarrow 1x−1x2−x=(1+h)−1(1+h)2−(1+h)=hh2+h=h+1→1 für h→0h\rightarrow 0h→0.
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