Aloha :)
Setzen den Ursprung deines Koordinatensystems in den Punkt B, das ist am einfachsten zu rechnen. Von diesem Punkt aus wird der Tetraeder von den folgenden drei Vektoren aufgespannt:
BA=⎝⎛−21−1⎠⎞;BC=⎝⎛−2−8−1⎠⎞;BD=a=⎝⎛23−5⎠⎞
Der Tetraeder hat eine dreieckige Grundfläche, daher ist sein Volumen 61 des Spat-Volumens, das die drei Vektoren aufspannen. Das Spat-Volumen kannst du mit dem Spat-Produkt oder mit der Determinante bestimmen:
∣∣∣∣∣∣∣−21−1−2−8−123−5∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣04−60−5−723−5∣∣∣∣∣∣∣=2⋅(−28−30)=−108Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Vektoren in der Determinante ein Linkssystem bilden und muss uns nicht weiter stören. Das gesuchte Volumen des Tetraeders ist also:V=61⋅108=18