Zeigen Sie, dass es in U n W zwei Vektoren gibt, die keine skalaren Vielfachen voneinander sind.

Question

Zu Aufgabe a): Ich habe die Determinante nach Sarrus berechnet. Hierbei bin ich zum Ergebnis gekommen, dass die Vektoren für alle Lamda ungleich Null eine Basis bilden.

Zu b): Muss ich bei b) die Dimension berechnen und falls ja: Wie mache ich das? Ich komme einfach nicht drauf..

(a) Gegeben seien der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie alle \( \lambda \in \mathbb{R} \), für die die folgende Liste eine Basis von \( V \) ist:\(v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(1,0, \lambda), v_{3}=(\lambda, 2,-1)\)

(b) Seien \( U \) und \( W \) jeweils vierdimensionale Untervektorräume des \( \mathbb{C}-V \)ektorraums \( \mathbb{C}^{6} \). Zeigen Sie, dass es in \( U \cap W \) zwei Vektoren gibt, die keine skalaren Vielfachen voneinander sind.

Answer 1

a) Ich hab für die Det. raus  λ^2 - 2λ +1

und das ist 0 nur für λ=1, also bilden die für alle λ≠1 eine Basis,

denn es sind ja 3 Stück.

b)

Du kennst vielleicht die Formel (Dimensionssatz)

dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim (U∩W)

Hier heißt das

dim(U+W) = 8 - dim (U∩W)

Wegen dim(U+W) ≤ 6  (Das ist ja ein Unterraum von ℂ^6 )

hast du   8 - dim (U∩W) = dim(U+W) ≤ 6

==>      2  - dim (U∩W) ≤ 0

==>      2  ≤  dim (U∩W) 

Und in einem Unterraum mit dim größer oder gleich 2

hat ein Basis mindestens 2 Elemente, und die sind

linear unabhängig, also keine skalaren Vielfachen voneinander.

Comments

Das habe ich auch raus, danke für die Aufklärung. Mein Problem ist wie gesagt Aufgabe b).

---

Hab was ergänzt.

---

Hab's endlich kapiert, vielen Dank Mathef!!!