Erste und zweite Ableitung (bitte mit Erklärung und Rechenregeln) von : U (f)=[((Z − f )w(1−t )) : p]² · f 4

Question

Ich benötige bitte eine Erklärung der  ersten und der zweiten Ableitung von : U (f)=[((Z − f )w(1−t )) : p]² · f ^4

Die Lösung habe ich schon, der Rechenweg und vor allem die Erklärung der angewandten Regeln in der richtigen Reihenfolge wären sehr wichtig.

Vielen Dank

Answer 1

$$U(f)=\left[ \frac { \left( \left( Z-f \right) w(1-t) \right) }{ p } \right] ^{ 2 }*{ f }^{ 4 }$$Konstante Faktoren herausziehen:$$=(Z-f)^{ 2 }*{ f }^{ 4 }*\frac { w(1-t)^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } }$$Setze nun:$$K:=\frac { w(1-t)^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } }$$und multipliziere aus:$$U(f)=(Z-f)^{ 2 }*{ f }^{ 4 }*K$$$$=(Z^{ 2 }-2Zf+{ f }^{ 2 })*{ f }^{ 4 }*K$$$$={ Z }^{ 2 }K{ f }^{ 4 }-2ZK{ f }^{ 5 }+K{ f }^{ 6 }$$Jetzt einfach ableiten nach Potenzregel:$$U'(f)={ 4Z }^{ 2 }K{ f }^{ 3 }-10ZK{ f }^{ 4 }+6K{ f }^{ 5 }$$$$U''(f)={ 12Z }^{ 2 }K{ f }^{ 2 }-40ZK{ f }^{ 3 }+30K{ f }^{ 4 }$$Nun noch aus beiden Ableitungen K ausklammern und K wieder durch obigen Ausdruck ersetzen:$$U'(f)=K({ 4Z }^{ 2 }{ f }^{ 3 }-10Z{ f }^{ 4 }+6{ f }^{ 5 })$$$$=\frac { w(1-t)^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } ({ 4Z }^{ 2 }{ f }^{ 3 }-10Z{ f }^{ 4 }+6{ f }^{ 5 })$$$$U''(f)={ K(12Z }^{ 2 }{ f }^{ 2 }-40Z{ f }^{ 3 }+30{ f }^{ 4 })$$$$=\frac { w(1-t)^{ 2 } }{ { p }^{ 2 } } { (12Z }^{ 2 }{ f }^{ 2 }-40Z{ f }^{ 3 }+30{ f }^{ 4 })$$