Berechnen Sie eine Stammfunktion F von f mit dem Formansatz F(x)=e-0,5 · x ·(a x2+b x+c)

Question

Aufgabe:

1. Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(-2 x^{2}+4 x+4\right), x \in \mathbb{R} .$ Berechnen Sie eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit dem Formansatz $F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right)$
Ermitteln Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G(-2)=e$ gilt.

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht weiter wie sieht diese Funktion denn aus? Mit Rechenweg bitte.

Comments

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Answer 1

Berechnen Sie eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit dem Formansatz

$F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right)$

Dann bilde hier mal F'(x) . Da bekomme ich mit der Produktregel

und anschließend e^(-0,5x) ausklammern

$F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(\frac{-a}{2} x^{2}+(2a-0,5b) \cdot x+(b-0,5c)\right)$

Damit das mit deiner gegebenen Funktion übereinstimmt, muss gelten

-a/2 = -2  und 2a-0,5b=4 und b-0,5c = 4

Das gibt a=4 und b=8 und c=8 .

Also sehen alle Stammfunktionen so aus

$F(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(4 x^{2}+8x+8\right) + k$ mit k∈ℝ.

Eine wäre also die mit k=0.

Eine mit G(-2)=e bekommst du durch

$G(x)=e^{-0,5 \cdot (-2)} \cdot\left(4 \cdot (-2)^{2}+8 \cdot(-2)+8\right) + k = e$

<=> e * 8 + k = e  <=>  k= -7e, also

$G(x)=e^{-0,5 \cdot x} \cdot\left(4 x^{2}+8x+8\right) -7e$