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Aufgabe:

f(x)={x+31 fu¨x[4,0]x36x2+9x fu¨x(0,4] f(x)=\left\{\begin{array}{cl} |x+3|-1 & \text { für } x \in[-4,0] \\ x^{3}-6 x^{2}+9 x & \text { für } x \in(0,4] \end{array}\right.
definierte reelle Funktion f f .
Bestimmen Sie jeweils alle lokalen und globalen Maximalstellen und alle lokalen und globalen Minimalstellen und geben Sie die zugehörigen Extrema an.

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Titel: Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Maximalstellen und alle lokalen und globalen Minimalstellen.

Stichworte: global,extremstellen,lokale,minimal,maximal

Betrachten Sie die auf [4,4] [-4,4] durch

f(x)={x+31 fu¨x[4,0],x36x2+9x fu¨x(0,4], f(x)=\left\{\begin{array}{cl} |x+3|-1 & \text { für } x \in[-4,0], \\ x^{3}-6 x^{2}+9 x & \text { für } x \in(0,4], \end{array}\right.
definierte reelle Funktion f f .
Bestimmen Sie jeweils alle lokalen und globalen Maximalstellen und alle lokalen und globalen Minimalstellen und geben Sie die zugehörigen Extrema an.

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Aloha :)

Na, das ist ja mal eine pathologische Funktion:f(x)={x+31falls 4x0x36x2+9xfalls 0<x4f(x)=\left\{\begin{array}{cl}|x+3|-1 &\text{falls }-4\le x\le0\\x^3-6x^2+9x &\text{falls }0<x\le4\end{array}\right.

Da die Definitionsränder der Funktion bei x=±4x=\pm4 gehören ausdrücklich zur Definitionsmenge. Allerdings ist die Funktion dort nicht differenzierbar, weil der Grenzwert des Differentialquotienten nur jeweils von einer Seite her gebildet werden kann (auf der anderen Seite ist ja nichts).

Weiter ist die Funktion an der Stelle x=0x=0 unstetig und daher nicht differenzierbar. Der Funktionswert ist klar definiert f(0)=2f(0)=2. Für Stetigkeit müssen der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich diesem Funktionswert sein. Für den linksseitigen Grenzwert trifft das zu, denn wir nutzen dabei den oberen Fall für 4x0-4\le x\le0. Für den rechtsseitigen Grenzwert erhalten wir jedoch 00, weil wir dafür den unteren Fall für 0<x40<x\le4 betrachten müssen.

Weiter ist die Funktion an der Stelle x=3x=-3 nicht differenzierbar, weil die Betragsfunktion an der Stelle, wo sie null wird, nicht differenzierbar ist. Die Betragsfunktion hat dort eine "Spitze". Man kann an diesem Punkt keine eindeutige Steigung definieren. Soll man die Steigung der Geraden nach links oder die Steigung der Geraden nach rechts angeben?

Langer Rede kurzer Sinn, wir haben vier Punkte, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist:P1(40);P2(31);P3(02);P4(44)P_1(-4|0)\quad;\quad P_2(-3|-1)\quad;\quad P_3(0|2)\quad;\quad P_4(4|4)

P1P_1 ist ein Maximum, weil für 4x3-4\le x\le-3 die Funktion (x+3)1=x4-(x+3)-1=-x-4 lautet und eine fallende Gerade darstellt.

P2P_2 ist ein Minimum, weil die Betragsfunktion dort ihren kleinsten Wert 00 annimmt.

P3P_3 ist ein Maximum, weil der rechtsseitige Grenzwert 00 kleiner als der Funktionswert 22 ist.

P4P_4 ist ein Maximum, weil würdest du den Definitionsbereich über die 44 hinaus erweitern, könntest du die Funktion ableiten und würdest eine positive Steigung feststellen. Da die Funktion aber bei x=4x=4 abrupt endet, kann sie nicht weiter steigen, sodass dort ein Maximum vorliegen muss.

So, jetzt müssen wir uns noch den Extrema zuwenden, die sich mittels der Differentialrechnung aufspüren lassen. Da der erste Fall linear ist und wir bereits alle Extrema mit 4x0-4\le x\le0 angegeben haben, brauchen wir nur noch den unteren Fall weiter zu betrachten:f(x)=3x212x+9=3(x24x+3)=3(x1)(x3);0<x<4f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\quad;\quad0<x<4Wir finden zwei weitere Kandidaten für Extremwerte:P5(14);P6(30)P_5(1|4)\quad;\quad P_6(3|0)Die zweite Ableitungf(x)=6x12;0<x<4f''(x)=6x-12\quad;\quad0<x<4liefert f(1)=6<0f''(1)=-6<0 und f(3)=6>0f''(3)=6>0.

Damit ist P5P_5 ein Maximum und P6P_6 ein Minimum.

Wir fassen das graphisch zusammen:

Plotlux öffnen

f1(x) = (abs(x+3)-1)·(x>=-4)·(x<=0)f2(x) = (x3-6x2+9x)·(x>0)·(x<=4)P(-4|0)P(-3|-1)P(0|2)P(1|4)P(3|0)P(4|4)Zoom: x(-5…5) y(-2…5)


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Vielen Dank für die Ausführliche Hilfe:-)

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