Berechnen Sie den Grenzwert der Folge

Question

Sei eine Folge (a_n) rekursiv definiert durch

a_n+1 = \( \frac{1}{2+a_n} \), n ∈ℕ ; mit Startwert a₁ = 0.

(a) Beweisen Sie, dass (a_n) eine Cauchy-Folge ist.
(b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a_n)

Ich bin irgendwie verwirrt.. ist a_n = a_n+1 oder muss ich irgendwas anderes beachten?

Comments

Wie kommst du denn auf \(a_n=a_{n+1}\) ?

Answer 1

wenn du a erledigt hast, ist ja bekannt:

Es gibt einen Grenzwert g, für den gilt

g =   1 / (2+g)

==>   g^2 + 2g = 1

==>  g^2 + 2g - 1 = 0

mit pq-Formel und weil g>0 also g= -1+√2

Comments

Hallo.. irgendwie scheitert es aber schon an der Cauchy Folge... wie muss ich da ran gehen? Mich verwirrt, dass nur a_n+1 gegeben ist. Ich glaub, ich steh grad irgendwo mächtig aufm Schlauch.

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Das ist doch ne Rekursion, also

a1 = 0

a2 = 1 / ( 2+a1) =   1/2

a3= 1 / (2+a2) = 1 / 2,5 = 2/5 = 0,4

a4 = 1 / (2+a3) = 1 / 2,4   = 5/12   etc.

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Also muss ich zeigen das Ia_n+1 - a_m+1I < ε ist?

Es tut mir echt leid, dass ich da grad irgendwie gar nicht wirklich mitkomme.. mich verwirrt das Thema grad noch komplett.

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Vielleicht hilft es ja, dass man so was ausrechnet wie

\(  a_{n+1} - a_n  \)  und \(  a_{n+2} - a_n \) und \(  a_{n+3} - a_n \)

und versucht zu ergründen, ob man bei \(  a_{n+k} - a_n \)

das k immer so groß wählen kann, dass die Differenz kleiner

als jedes pos. ε wird.