Sei eine Folge (an) rekursiv definiert durch
an+1 = 12+an \frac{1}{2+a_n} 2+an1, n ∈ℕ ; mit Startwert a1 = 0.
(a) Beweisen Sie, dass (an) eine Cauchy-Folge ist.(b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (an)
Ich bin irgendwie verwirrt.. ist an = an+1 oder muss ich irgendwas anderes beachten?
Wie kommst du denn auf an=an+1a_n=a_{n+1}an=an+1 ?
wenn du a erledigt hast, ist ja bekannt:
Es gibt einen Grenzwert g, für den gilt
g = 1 / (2+g)
==> g2 + 2g = 1
==> g2 + 2g - 1 = 0
mit pq-Formel und weil g>0 also g= -1+√2
Hallo.. irgendwie scheitert es aber schon an der Cauchy Folge... wie muss ich da ran gehen? Mich verwirrt, dass nur an+1 gegeben ist. Ich glaub, ich steh grad irgendwo mächtig aufm Schlauch.
Das ist doch ne Rekursion, also
a1 = 0
a2 = 1 / ( 2+a1) = 1/2
a3= 1 / (2+a2) = 1 / 2,5 = 2/5 = 0,4
a4 = 1 / (2+a3) = 1 / 2,4 = 5/12 etc.
Also muss ich zeigen das Ian+1 - am+1I < ε ist?
Es tut mir echt leid, dass ich da grad irgendwie gar nicht wirklich mitkomme.. mich verwirrt das Thema grad noch komplett.
Vielleicht hilft es ja, dass man so was ausrechnet wie
an+1−an a_{n+1} - a_n an+1−an und an+2−an a_{n+2} - a_n an+2−an und an+3−an a_{n+3} - a_n an+3−an
und versucht zu ergründen, ob man bei an+k−an a_{n+k} - a_n an+k−an
das k immer so groß wählen kann, dass die Differenz kleiner
als jedes pos. ε wird.
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