Zeigen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation auf ℤ definiert.

Question

Aufgabe:Wir definieren auf Z die folgende Relation:

a ≡ b:⇔∃k∈ℤ , sodass a=9k+b

für a,b∈ℤ.

Zeigen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation auf ℤ definiert.

Geben Sie die Äquivalenzklassen 1 (1 mit strich drüber, kann den hier nicht schreiben) und 13 (auch mit strich drüber) in aufzählender Schreibweise an.

Problem/Ansatz:

Irgendwie versteh ich das ganze Thema noch nicht so richtig und hab deswegen auch noch nicht so richtig eine Idee, was ich hier machen muss.

Deswegen hoffe ich, dass ihr mir hier weiter helfen könnt.

Danke schonmal :)

Answer 1

Hallo,

man löst diese Aufgabe, indem man die 3 Eigenschaften für eine Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) für die gegebene Relation aufschreibt und überprüft:

Reflexiv? Reflexivität bedeutet: $\forall a \in \mathbb{Z}: a \equiv a$, hier: $\forall a \in \mathbb{Z}: \exists k \in \mathbb{Z}: a=9k+a$? Diese Aussage ist wahr, denn man k=0 nehmen.

Symmetrie? $\forall a,b \in \mathbb{Z}: a \equiv b \Rightarrow b \equiv a$, hier:

$$\forall a,b \in \mathbb{Z}: \exists k \in \mathbb{Z}: a=9k+b \Rightarrow \exists m \in \mathbb{Z}: b=9m+a$$

Diese Aussage ist ebenfalls wahr; denn aus $a=9k+b$ folgt $b=9(-k)+a$, also ist das gesuchte m=-k.

Transitivität? $\forall a,b,c \in \mathbb{Z}: a \equiv b, b \equiv c \Rightarrow a \equiv c$, hier:

$$\forall a,b,c \in \mathbb{Z}: \left(\exists k \in \mathbb{Z}:a=9k+b \text{ und } \exists m \in \mathbb{Z}:b=9m+c\right) \Rightarrow \exists n \in \mathbb{Z}: a=9n+c$$

Auch diese Aussage ist wahr; den aus $a=9k+b,b=9m+c$ folgt $a=9(k+m)+c$. Also kann man n=k+m nehmen.

Damit sind alle drei Eigenschaften überprüft. Die Relation ist eine Äquivalenzrelation.

Gruß Mathhilf

Comments

Jetzt macht das sinn dankee, ich glaub jetzt hab ich das verstanden :)

Answer 2

Für eine Äquivalenzrelation musst du 3 Sachen nachweisen

1. Reflexivität
Gilt:

a ≡ a?
Das heißt: Existiert ein k ∈ℤ mit:  a=9k+a
Ja, k = 0

2. Symmetrie:
Es gelte: a ≡ b. Gilt auch b ≡ a?

Da ja a ≡ b gilt, existiert ein k ∈ℤ mit: a=9k+b

Nun gibt es ein l ∈ℤ mit: b=9l+a?

3. Transitivität
Es gelte: a ≡ b und b ≡ c. Gilt auch a ≡ c?

Da ja a ≡ b gilt, existiert ein k ∈ℤ mit: a=9k+b

Da ja b ≡ c gilt, existiert ein l ∈ℤ mit: b=9l+c

Nun wieder die Frage: Existiert ein m ∈ℤ mit: a=9m+c?

Ich würde gerne weiterhelfen, nur verstehe ich das iwie nicht mit der Definition. Was bedeutet das a=9k+b. Woher kommt die 9?

Comments

Woher kommt die 9?

Im Prinzip kann man das nicht fragen; denn es ist Teil einer Definition (der Definition von $a \equiv b$.

Aber vielleicht hilft Dir die Umschreibung: $\exists k: a=9k+b$ bedeutet, dass die Differenz a-b durch 9 teilbar ist.