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Aufgabe:

Sei \(m ∈ \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}\). Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung von Satz 11: Ein Element \([x]_{≡m}\) von \(\mathbb{Z}_m\) ist genau dann bezüglich · invertierbar, wenn gcd(x, m) \(= 1\) gilt.


Problem/Ansatz:

Die eine Richutng zu Beweisen ist ja leicht da ein vielfaches von m in der Restklassen immer 0 ist somit faellt dass weg und man kannn zeigen das [1] = [a] * [u] ist.


Aber wie kann ich zeigen, dass wenn ein Inverses zu a existiert das dann auch folgt das der gcd(x, m) = 1 ist?

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Wenn b invers zu a dann ist

[a*b] = [a] * [b] = [1]

Auf Ebene der ganzen Zahlen heißt das

a*b = 1 + m*k für ein k

Bzw. a*b - m*k = 1.

Die linke Seite ist hier durch ggT(a,m) teilbar.

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