Volumen des Rotationskörpers

Question

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion $f$ um die $x$-Achse zwischen $x=0$ und $x=\ln (2)$ entsteht, mit
$f(x)=\mathrm{e}^{-4 x}$

Ist es möglich mir eine ausführliche Lösung zu zeigen bzw. Rechenweg... ich komme konstant aufs falsche raus.

Answer 1

Aloha :)

Der Graph der Funktion$$f(x)=e^{-4x}\quad;\quad x\in[0;\ln(2)]$$soll in dem angegebenen Intervall um die $x$-Achse rotiert werden. Wenn du dir einen $x$-Wert aus diesem Intervall hinausgreifst, nennen wir ihn mal $x_0$. Dann entsteht bei der Rotation des Graphen um diesen Punkt eine Kreisflläche, deren Mittelpunkt auf der $x$-Achse liegt und die senkrecht zur $x$-Achse orientiert ist. Der Radius $r$ dieser Kreisfläche ist gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$, also gilt $r=f(x_0)$. Die Fläche der entstandenen Kreisscheibe ist also $\pi r^2=\pi\,[f(x)]^2$. Diese Kreisflächen muss du nun entlang der $x$-Achse aufsummieren, um das Volumen zu erhalten:$$V=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,[f(x)]^2\,dx=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,\left(e^{-4x}\right)^2\,dx=\int\limits_0^{\ln(2)}\pi\,e^{-8x}\,dx=\left[-\frac{\pi}{8}e^{-8x}\right]_{0}^{\ln(2)}$$$$\phantom{V}=-\frac{\pi}{8}e^{-8\ln(2)}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8}\left(1-\frac{1}{2^8}\right)=\frac{\pi}{8}\cdot\frac{2^8-1}{256}=\frac{255}{2048}\,\pi$$

Answer 2

f ( x ) = e^ (-4x)
f ( x ) ist r des rotierenden Körpers

A = r² * PI
A = e^(-4x)² * PI
Stammfunktion
S = -e^(-8x)/8

V = A zwischen 0 und ln(2)

-e^(-8*ln(2))/8  minus -e^(-8*0)/8
-0.000488 minus - 1/8
0.1245

Bei Fragen bitte nachhaken.
Was ist die richtige Lösung ?

Comments

0.1245
habe ich doch glatt mal pi vergessen

0.1245 * pi = 0.3911