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Aufgabe:

Seien sinh und cosh die Hyperfunktion mit

sinh: ℂ->ℂ sowie cosh: ℂ->ℂ.

Additionstheoreme

sinh(w+z)= sinh w cosh z + cosh w sinh z

Mit w,z ∈ℂ


Problem/Ansatz:

Wären w,z∈ℝ habe ich dies bewiesen aber mit z=x+iy und w=u+iv habe ich Schwierigkeiten…

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Der Beweis für komplexe Zahlen geht genauso, er beruht schließlich nur auf der Definiton der Hyperbelfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Für z setze ich doch dann x+in ein oder nicht ?  Dann bekomme ich doch für zum Beispiel

cosh(x)= cosh(x)*cos(y)+ isinh(x)*sin(y)

Ich bekomme doch eine total lange Rechnung raus ?

Das ist nicht nötig, Du kannst doch auch im Komplexen mit

$$\cosh(z)=0.5(\exp(z)+\exp(-z))$$

arbeiten.

Und sinh (z)= 0,5 (ez - e-z ) ?

cosh(w+z)= cosh w cosh z + sinh w sinh z

= 0,5 *( ew + e-w )(e^z + e-z )+ 0,5*(e^w -e-w )(e^z -e-z)

= 0,25 ( e^w e^z + e^w e-z + e-w e^z + e-w e-z ) +

(e^w e^z - e^w e-z - e-w e^z + e-w e-z )

=0,25 (2* (e^w e^z) + 2* (e-w e-z ))

=0,25 *2 ( ew+z + e-(w+z) )

=0,5( ew+z + e-(w+z) )

So ?

Ja, genau so wie im Reellen

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