Aufgabe:
Seien sinh und cosh die Hyperfunktion mit
sinh: ℂ->ℂ sowie cosh: ℂ->ℂ.
Additionstheoreme
sinh(w+z)= sinh w cosh z + cosh w sinh z
Mit w,z ∈ℂ
Problem/Ansatz:
Wären w,z∈ℝ habe ich dies bewiesen aber mit z=x+iy und w=u+iv habe ich Schwierigkeiten…
Der Beweis für komplexe Zahlen geht genauso, er beruht schließlich nur auf der Definiton der Hyperbelfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion.
Für z setze ich doch dann x+in ein oder nicht ? Dann bekomme ich doch für zum Beispiel
cosh(x)= cosh(x)*cos(y)+ isinh(x)*sin(y)
Ich bekomme doch eine total lange Rechnung raus ?
Das ist nicht nötig, Du kannst doch auch im Komplexen mit
$$\cosh(z)=0.5(\exp(z)+\exp(-z))$$
arbeiten.
Und sinh (z)= 0,5 (ez - e-z ) ?
cosh(w+z)= cosh w cosh z + sinh w sinh z
= 0,5 *( ew + e-w )(e^z + e-z )+ 0,5*(e^w -e-w )(e^z -e-z)
= 0,25 ( e^w e^z + e^w e-z + e-w e^z + e-w e-z ) +
(e^w e^z - e^w e-z - e-w e^z + e-w e-z )
=0,25 (2* (e^w e^z) + 2* (e-w e-z ))
=0,25 *2 ( ew+z + e-(w+z) )
=0,5( ew+z + e-(w+z) )
So ?
Ja, genau so wie im Reellen
Ein anderes Problem?
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